29-46 Esboce uma curva com a equação polar dada primeiro esboçando o gráfico de
como função de
em coordenadas cartesianas.
42.
42.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a equação polar
. O que precisamos fazer é esboçar essa curva. Para isso, primeiro vamos desenhar o gráfico de
em função de
usando coordenadas cartesianas. Vamos usar conhecimentos de coordenadas polares e trigonometria para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma equação polar. Em coordenadas polares, cada ponto é definido por um ângulo
e uma distância
do ponto ao centro. A equação
relaciona essas duas coisas.
Passo 3
Vamos resolver a equação para
. Tirando a raiz quadrada dos dois lados, temos:
Mas, para que
seja um número real,
precisa ser maior ou igual a zero:
Isso significa que iremos considerar apenas os valores de
onde
é não negativo.
Passo 4
Agora, vamos analisar o comportamento de
. Sabemos que o cosseno tem um período de
, mas aqui temos
, então o período da função será reduzido para
. Isso significa que o padrão da curva se repete a cada
radians.
Passo 5
Vamos identificar os valores de
onde
é positivo:
Isso nos dá os intervalos onde
terá valores reais.
Passo 6
Vamos plotar alguns pontos para diferentes valores de
dentro desses intervalos:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- E assim por diante, repetindo para outros valores dentro do período.
Passo 7
Com esses pontos, podemos desenhar a curva em coordenadas polares. A equação
resulta em uma rosa com 8 pétalas devido ao fator 4 dentro do cosseno. Cada pétala aparece quando
é positivo e se estende de
até
.
Resposta
A curva definida pela equação polar
é uma rosa com 8 pétalas simétricas, cada uma estendendo-se até
, repetindo-se a cada
radians.
Exercícios relacionados
29-46 Esboce uma curva com a equação polar dada primeiro esboçando o gráfico de
como função de
em coordenadas cartesianas.
(35)
(35)
Determine se a sequência dada converge ou diverge. Se converge calcule o limite.
29-46 Esboce uma curva com a equação polar dada primeiro esboçando o gráfico de
como função de
em coordenadas cartesianas.
(39.)
(39.)
Determine se a sequência dada converge ou diverge. Se converge calcule o limite.