29-46 Esboce uma curva com a equação polar dada primeiro esboçando o gráfico de como função de em coordenadas cartesianas.
42.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação polar . O que precisamos fazer é esboçar essa curva. Para isso, primeiro vamos desenhar o gráfico de em função de usando coordenadas cartesianas. Vamos usar conhecimentos de coordenadas polares e trigonometria para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma equação polar. Em coordenadas polares, cada ponto é definido por um ângulo e uma distância do ponto ao centro. A equação relaciona essas duas coisas.

Passo 3

Vamos resolver a equação para . Tirando a raiz quadrada dos dois lados, temos:
Mas, para que seja um número real, precisa ser maior ou igual a zero:
Isso significa que iremos considerar apenas os valores de onde é não negativo.

Passo 4

Agora, vamos analisar o comportamento de . Sabemos que o cosseno tem um período de , mas aqui temos , então o período da função será reduzido para . Isso significa que o padrão da curva se repete a cada radians.

Passo 5

Vamos identificar os valores de onde é positivo:
Isso nos dá os intervalos onde terá valores reais.

Passo 6

Vamos plotar alguns pontos para diferentes valores de dentro desses intervalos:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • E assim por diante, repetindo para outros valores dentro do período.

Passo 7

Com esses pontos, podemos desenhar a curva em coordenadas polares. A equação resulta em uma rosa com 8 pétalas devido ao fator 4 dentro do cosseno. Cada pétala aparece quando é positivo e se estende de até .

Resposta

A curva definida pela equação polar é uma rosa com 8 pétalas simétricas, cada uma estendendo-se até , repetindo-se a cada radians.

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29-46 Esboce uma curva com a equação polar dada primeiro esboçando o gráfico de como função de em coordenadas cartesianas.
(35)
Determine se a sequência dada converge ou diverge. Se converge calcule o limite.
29-46 Esboce uma curva com a equação polar dada primeiro esboçando o gráfico de como função de em coordenadas cartesianas.
(39.)
Determine se a sequência dada converge ou diverge. Se converge calcule o limite.