29-46 Esboce uma curva com a equação polar dada primeiro esboçando o gráfico de como função de em coordenadas cartesianas.
(39.)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação polar: . Nosso objetivo é desenhar o gráfico dessa curva. Para isso, primeiro vamos plotar em função de usando coordenadas cartesianas. Vamos precisar entender um pouco sobre coordenadas polares e como elas se relacionam com as cartesianas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é coordenada polar. Em coordenadas polares, qualquer ponto no plano é representado por , onde é a distância do ponto à origem e é o ângulo em relação ao eixo positivo . Para plotar em função de na forma cartesiana, vamos criar uma tabela de valores para diferentes e calcular o correspondente .

Passo 3

Vamos escolher alguns valores de e calcular :

Passo 4

Agora, plotamos esses pontos no gráfico cartesiano, onde o eixo representa e o eixo representa . Observamos que varia entre -1 e 3. Como negativo significa que o ponto está na direção oposta ao ângulo , vamos usar isso para desenhar a curva polar correspondente.

Resposta

Após plotar os pontos e analisar o comportamento de em função de , desenhamos a curva polar . O gráfico resulta em uma cardioide, que é uma curva em forma de coração. Essa curva tem um ponto mais afastado em onde e retorna à origem quando .

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42.
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(35)
Determine se a sequência dada converge ou diverge. Se converge calcule o limite.
Esboce o gráfico de . A função é contínua?