Determine se a sequência dada converge ou diverge. Se converge calcule o limite.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar se a sequência converge ou diverge. Se ela converge, vamos calcular o limite. Para isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e analisar o comportamento das potências de números maiores e menores conforme cresce.

Passo 2

Primeiro, vamos observar os termos da sequência: . Note que tanto no numerador quanto no denominador temos expressões com e .

Passo 3

Agora, vamos identificar qual termo cresce mais rápido quando aumenta. Sabemos que, para bases maiores, as potências crescem mais rapidamente. Aqui, cresce mais rápido que , pois 5 é maior que 3.

Passo 4

Para facilitar a análise, vamos dividir o numerador e o denominador por , que é o termo que domina:

Passo 5

Simplificando, sabemos que . Como , à medida que cresce, tende a 0.

Passo 6

Substituindo esse limite na expressão, temos:

Resposta

A sequência converge e o seu limite é .

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