Determine se a sequência dada converge ou diverge. Se converge calcule o limite.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar se a sequência
converge ou diverge. Se ela converge, vamos calcular o limite. Para isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e analisar o comportamento das potências de números maiores e menores conforme
cresce.
Passo 2
Primeiro, vamos observar os termos da sequência:
. Note que tanto no numerador quanto no denominador temos expressões com
e
.
Passo 3
Agora, vamos identificar qual termo cresce mais rápido quando
aumenta. Sabemos que, para bases maiores, as potências crescem mais rapidamente. Aqui,
cresce mais rápido que
, pois 5 é maior que 3.
Passo 4
Para facilitar a análise, vamos dividir o numerador e o denominador por
, que é o termo que domina:
Passo 5
Simplificando, sabemos que
. Como
, à medida que
cresce,
tende a 0.
Passo 6
Substituindo esse limite na expressão, temos:
Resposta
A sequência converge e o seu limite é
.
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como função de
em coordenadas cartesianas.
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Esboce o gráfico de
. A função
é contínua?
Apresente uma parametrização diferenciável para a curva
em
, interseção das superfícies dadas por:
e