Esboce o gráfico de . A função é contínua?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos esboçar o gráfico da função e determinar se essa função é contínua. Para isso, vamos precisar de conhecimentos sobre funções racionais, assíntotas, pontos de descontinuidade e a definição de continuidade de funções.

Passo 2

Vamos começar simplificando a função . Observamos que tanto o numerador quanto o denominador são expressões polinomiais.
Vamos fatorar o numerador:
Então, a função fica:
Podemos cancelar o fator no numerador e denominador, desde que , ou seja, .
Assim, a função simplificada é:

Passo 3

Agora, vamos identificar os pontos importantes para esboçar o gráfico:
  1. Domínio: Todos os valores de exceto , onde o denominador é zero e a função não está definida.
  2. Assíntotes:
    • Vertical: Em , já que a função não está definida nesse ponto.
    • Horizontal: Como a função simplificada é linear ( ), não há assíntota horizontal.
  3. Pontos de descontinuidade: Em , devido à divisão por zero.
  4. Comportamento da função: Para , a função se comporta como uma reta com inclinação 2 e intercepto em 1.

Passo 4

Vamos agora esboçar o gráfico:
  • Função simplificada: é uma reta que passa pelo ponto (0,1) e tem inclinação 2.
  • Ponto de descontinuidade: Em , obviamente, não existe um ponto no gráfico. Será representado por um buraco na reta.
  • Assíntote vertical: A reta será desenhada como uma linha tracejada para indicar que a função não está definida exatamente nesse ponto.

Passo 5

Para determinar se a função é contínua, vamos lembrar a definição de continuidade:
Uma função é contínua em um ponto se:
  1. A função está definida nesse ponto.
  2. O limite da função existe nesse ponto.
  3. O limite da função é igual ao valor da função naquele ponto.
No nosso caso, em , a função não está definida. Portanto, a função não é contínua em . Em todos os outros pontos, como a função é uma reta contínua, ela é contínua.

Resposta

O gráfico de é uma reta definida por com um buraco em e uma assíntota vertical nessa mesma posição. A função não é contínua em , mas é contínua em todos os outros pontos do seu domínio.

Exercícios relacionados

Determine se a sequência dada converge ou diverge. Se converge calcule o limite.
29-46 Esboce uma curva com a equação polar dada primeiro esboçando o gráfico de como função de em coordenadas cartesianas.
(39.)
Apresente uma parametrização diferenciável para a curva em , interseção das superfícies dadas por:
e
Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma.