Esboce o gráfico de
. A função
é contínua?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos esboçar o gráfico da função
e determinar se essa função é contínua. Para isso, vamos precisar de conhecimentos sobre funções racionais, assíntotas, pontos de descontinuidade e a definição de continuidade de funções.
Passo 2
Vamos começar simplificando a função
. Observamos que tanto o numerador quanto o denominador são expressões polinomiais.
Vamos fatorar o numerador:
Então, a função fica:
Podemos cancelar o fator
no numerador e denominador, desde que
, ou seja,
.
Assim, a função simplificada é:
Passo 3
Agora, vamos identificar os pontos importantes para esboçar o gráfico:
- Domínio: Todos os valores de
exceto , onde o denominador é zero e a função não está definida. - Assíntotes:
- Vertical: Em
, já que a função não está definida nesse ponto. - Horizontal: Como a função simplificada é linear (
), não há assíntota horizontal.
- Vertical: Em
- Pontos de descontinuidade: Em
, devido à divisão por zero. - Comportamento da função: Para
, a função se comporta como uma reta com inclinação 2 e intercepto em 1.
Passo 4
Vamos agora esboçar o gráfico:
- Função simplificada:
é uma reta que passa pelo ponto (0,1) e tem inclinação 2. - Ponto de descontinuidade: Em
, obviamente, não existe um ponto no gráfico. Será representado por um buraco na reta. - Assíntote vertical: A reta
será desenhada como uma linha tracejada para indicar que a função não está definida exatamente nesse ponto.
Passo 5
Para determinar se a função
é contínua, vamos lembrar a definição de continuidade:
Uma função é contínua em um ponto se:
- A função está definida nesse ponto.
- O limite da função existe nesse ponto.
- O limite da função é igual ao valor da função naquele ponto.
No nosso caso, em
, a função não está definida. Portanto, a função não é contínua em
. Em todos os outros pontos, como a função é uma reta contínua, ela é contínua.
Resposta
O gráfico de
é uma reta definida por
com um buraco em
e uma assíntota vertical nessa mesma posição. A função
não é contínua em
, mas é contínua em todos os outros pontos do seu domínio.
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Determine se a sequência dada converge ou diverge. Se converge calcule o limite.
29-46 Esboce uma curva com a equação polar dada primeiro esboçando o gráfico de
como função de
em coordenadas cartesianas.
(39.)
(39.)
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em
, interseção das superfícies dadas por:
e
Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma.