29.86 - Sabendo que o campo no ponto Pl é dado por B=mu0 i2 pi R LraizL^2+R^2 qual é o módulo do campo magnético produzido no centro de uma espira retangular de comprimento L e largura W , percorrida por uma corrente i?

Passo 1

Então, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o módulo do campo magnético no centro de uma espira retangular que tem comprimento e largura , e que está percorrida por uma corrente . Para isso, vamos usar conceitos de eletromagnetismo, especificamente a Lei de Biot-Savart, que nos ajuda a calcular campos magnéticos gerados por correntes elétricas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como calcular o campo magnético gerado por um fio retilíneo no ponto central. A fórmula que a gente tem é:
B = mu0 i2 pi R LraizL^2+R^2
Aqui, é a permeabilidade do vácuo, é a corrente elétrica, é a distância do ponto onde queremos calcular o campo até o fio, e é o comprimento do fio. Essa fórmula nos dá o campo magnético gerado por um pedaço de fio no ponto .

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa fórmula para cada lado da nossa espira retangular. A espira tem quatro lados: dois com comprimento R = W2 e dois com largura R = L2 . No centro da espira, a distância de cada lado ao ponto central é metade do comprimento ou da largura, dependendo do lado.
Para os lados com comprimento :
E para os lados com largura :

Passo 4

Vamos calcular o campo magnético gerado por cada lado no centro da espira.
Para os dois lados de comprimento BL = mu0 i2 pi cdot W2 cdot LraizL^2 + (W2)^2 :
BL = mu0 ipi W cdot LraizL^2 + W^24
Simplificando:
BW = mu0 i2 pi cdot L2 cdot WraizW^2 + (L2)^2
Para os dois lados de largura BW = mu0 ipi L cdot WraizW^2 + L^24 :
Simplificando:

Passo 5

Como a espira é simétrica, o campo magnético total no centro será a soma dos campos gerados por cada lado. Ou seja, temos dois lados de Btotal = 2BL + 2BW e dois lados de Btotal = 2 ( mu0 ipi W cdot LraizL^2 + W^24 ) + 2 ( mu0 ipi L cdot WraizW^2 + L^24 ) :
Substituindo as expressões que encontramos:

Resposta

O módulo do campo magnético no centro da espira retangular é:
B = 2 mu0 i Lpi W raizL^2 + W^24 + 2 mu0 i Wpi L raizW^2 + L^24

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