Calcule o campo elétrico e o potencial elétrico para r, isto é, dentro da esfera. Considere uma esfera condutora de raio R em equilíbrio eletrostático com carga total Q.

Passo 1

Vamos entender qual é o problema: Precisamos calcular o campo elétrico e o potencial elétrico dentro de uma esfera condutora de raio que está em equilíbrio eletrostático e possui uma carga total .
Aqui, estamos trabalhando com eletrostática, que estuda as cargas em repouso e os campos que elas produzem. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss e propriedades dos condutores em equilíbrio eletrostático.

Passo 2

Primeiro, lembre-se que em um condutor em equilíbrio eletrostático, as cargas livres (elétrons, por exemplo) se distribuem somente na superfície externa do condutor. Isso acontece porque se as cargas estivessem dentro do material, elas gerariam um campo elétrico que faria as cargas se moverem, impedindo o equilíbrio.
Então, dentro do condutor ( ), não há carga livre.

Passo 3

Vamos aplicar a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico dentro da esfera. A Lei de Gauss é dada por:
oint E cdot dA = Qencvarepsilon0
onde:
  • é o campo elétrico,
  • é um elemento de área da superf��cie gaussiana,
  • é a carga total dentro da superfície gaussiana,
  • é a permissividade do vácuo.
Escolhemos uma superfície gaussiana esférica de raio dentro do condutor.

Passo 4

Dentro do condutor, como não há carga livre, a carga encerrada pela superfície gaussiana é oint E cdot dA = 0varepsilon0 implies oint E cdot dA = 0 .
Substituindo na Lei de Gauss:
E cdot 4pi r^2 = 0 implies E = 0
Como a simetria é esférica, o campo elétrico é o mesmo em toda a superfície e perpendicular a ela. Então podemos simplificar:
Portanto, o campo elétrico dentro do condutor é nulo.

Passo 5

Agora, vamos calcular o potencial elétrico E = -nabla V dentro do condutor. Sabemos que o campo elétrico está relacionado ao potencial pela relação:
Como dentro do condutor, isso implica que o potencial não varia dentro dele. Ou seja, é constante em toda a região interna.

Passo 6

Para encontrar o valor dessa constante, avaliamos o potencial na superfície da esfera condutora. O potencial na superfície de uma esfera carregada é dado por:
V = Q4pi varepsilon0 R
Como é constante dentro do condutor, esse valor vale para todos os pontos internos.

Resposta

Para , o campo elétrico e o potencial elétrico .

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