1. Resolva cada um dos problemas de valor inicial abaixo.
    (a) .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui! A questão apresenta uma equação diferencial com um problema de valor inicial, que é basicamente encontrar uma função que satisfaz a equação e passa por um ponto específico. O enunciado é:
Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de equações diferenciais ordinárias e resolução de equações diferenciais de primeiro grau. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação para facilitar a resolução. A equação dada é:
Observa que podemos simplificar os termos:

Passo 3

Agora, vamos fatorar o em comum:
Isso nos dá duas possibilidades: ou ou . Mas como implicaria para todo , o que não atende à condição inicial , vamos focar na segunda parte.

Passo 4

Focando na equação:
Vamos isolar :
Essa é uma equação diferencial de primeira ordem e pode ser resolvida facilmente por integração.

Passo 5

Vamos integrar ambos os lados em relação a :
Isso resulta em:
Simplificando:

Passo 6

Agora, usamos a condição inicial para encontrar a constante :

Passo 7

Substituindo de volta na expressão para :
Podemos também escrever isso de forma mais simplificada:

Resposta

A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é:

Exercícios relacionados

Resolva cada uma das equações abaixo e estabeleça as regiões do plano ty em que são satisfeitas as hipóteses do Teorema de Existência e Unicidade:
Encontre soluções para os problemas de valor inicial
e , para .
Verifique se as equações abaixo são homogêneas. Em caso afirmativo, resolva as respectivas equações.
.
Determine a ordem das equações diferenciais abaixo:
;