a) (t y^2+a t^2 y)+(t+y) t^2 y^prime=0 b) (y e^(2 t y)+t)+(a t e^(2 t y)) y^prime=0
  1. Resolva cada um dos problemas de valor inicial abaixo.
    (a) 2 t y^3+3 y y^2 y^prime=0, y(1)=1.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui! A questão apresenta uma equação diferencial com um problema de valor inicial, que é basicamente encontrar uma função 2t y^3 + 3y y^2 y' = 0, y(1) = 1 que satisfaz a equação e passa por um ponto específico. O enunciado é:
Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de equações diferenciais ordinárias e resolução de equações diferenciais de primeiro grau. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação para facilitar a resolução. A equação dada é:
2t y^3 + 3y y^2 y' = 0
Observa que podemos simplificar os termos:
2t y^3 + 3y^3 y' = 0

Passo 3

Agora, vamos fatorar o y^3(2t + 3y') = 0 em comum:
Isso nos dá duas possibilidades: ou ou . Mas como implicaria para todo , o que não atende à condição inicial , vamos focar na segunda parte.

Passo 4

Focando na equação:
2t + 3y' = 0
Vamos isolar y' = -23t :
Essa é uma equação diferencial de primeira ordem e pode ser resolvida facilmente por integração.

Passo 5

Vamos integrar ambos os lados em relação a integral y', dt = integral -23t , dt :
y = -23 cdot t^22 + C
Isso resulta em:
y = -13t^2 + C
Simplificando:

Passo 6

Agora, usamos a condição inicial 1 = -13(1)^2 + C 1 = -13 + C C = 1 + 13 = 43 para encontrar a constante :

Passo 7

Substituindo y = -13t^2 + 43 de volta na expressão para y(t) = 4 - t^23 :
Podemos também escrever isso de forma mais simplificada:

Resposta

A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é:
y(t) = 4 - t^23

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