- Resolva cada um dos problemas de valor inicial abaixo.
(a)
.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui! A questão apresenta uma equação diferencial com um problema de valor inicial, que é basicamente encontrar uma função
que satisfaz a equação e passa por um ponto específico. O enunciado é:
Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de equações diferenciais ordinárias e resolução de equações diferenciais de primeiro grau. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação para facilitar a resolução. A equação dada é:
Observa que podemos simplificar os termos:
Passo 3
Agora, vamos fatorar o
em comum:
Isso nos dá duas possibilidades: ou
ou
. Mas como
implicaria
para todo
, o que não atende à condição inicial
, vamos focar na segunda parte.
Passo 4
Focando na equação:
Vamos isolar
:
Essa é uma equação diferencial de primeira ordem e pode ser resolvida facilmente por integração.
Passo 5
Vamos integrar ambos os lados em relação a
:
Isso resulta em:
Simplificando:
Passo 6
Agora, usamos a condição inicial
para encontrar a constante
:
Passo 7
Substituindo
de volta na expressão para
:
Podemos também escrever isso de forma mais simplificada:
Resposta
A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é:
Exercícios relacionados
Resolva cada uma das equações abaixo e estabeleça as regiões do plano ty em que são satisfeitas as hipóteses do Teorema de Existência e Unicidade:
Encontre soluções para os problemas de valor inicial
e
, para
.
Verifique se as equações abaixo são homogêneas. Em caso afirmativo, resolva as respectivas equações.
.
Determine a ordem das equações diferenciais abaixo:
;