Resolva cada uma das equações abaixo e estabeleça as regiões do plano ty em que são satisfeitas as hipóteses do Teorema de Existência e Unicidade:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. Isso tá na área de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), especificamente de primeira ordem. Para resolver isso, a gente vai precisar usar métodos de separação de variáveis e, depois, verificar onde o Teorema de Existência e Unicidade se aplica, ou seja, onde a solução existe e é única.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para separar as variáveis
e
. A ideia é conseguir colocar todos os termos com
de um lado e com
do outro.
Temos:
Isso pode ser escrito como:
Passo 3
Agora, vamos separar as variáveis
e
. Para isso, dividimos ambos os lados por
:
Passo 4
Agora, vamos integrar ambos os lados:
A integral do lado esquerdo:
E a integral do lado direito:
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Então, juntando tudo:
Podemos multiplicar tudo por 3 para simplificar:
Passo 6
Essa é a solução implícita da equação diferencial. Para encontrar
explicitamente, seria necessário resolver uma equação cúbica, o que pode ser complicado. Então, deixamos a solução nessa forma.
Passo 7
Agora, vamos verificar as condições do Teorema de Existência e Unicidade. Esse teorema diz que se a função
e sua derivada parcial em relação a
,
, forem contínuas em um retângulo ao redor do ponto inicial
, então existe uma solução única nesse ponto.
Passo 8
A função
é contínua para todo
e
, pois o denominador nunca é zero (já que
). A derivada parcial
também é contínua para todo
e
.
Passo 9
Portanto, as hipóteses do Teorema de Existência e Unicidade são satisfeitas em todo o plano
. Isso significa que para qualquer valor inicial
, existe uma única solução para a equação diferencial.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
, e as hipóteses do Teorema de Existência e Unicidade são satisfeitas em todo o plano
.
Exercícios relacionados
Encontre soluções para os problemas de valor inicial
e
, para
.
Determine se cada uma das equações abaixo é exata ou não. Se for exata, encontre sua solução (implicitamente).
.
- Resolva cada um dos problemas de valor inicial abaixo.
(a).
Verifique se as equações abaixo são homogêneas. Em caso afirmativo, resolva as respectivas equações.
.