Resolva cada uma das equações abaixo e estabeleça as regiões do plano ty em que são satisfeitas as hipóteses do Teorema de Existência e Unicidade:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Isso tá na área de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), especificamente de primeira ordem. Para resolver isso, a gente vai precisar usar métodos de separação de variáveis e, depois, verificar onde o Teorema de Existência e Unicidade se aplica, ou seja, onde a solução existe e é única.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para separar as variáveis e . A ideia é conseguir colocar todos os termos com de um lado e com do outro.
Temos:
Isso pode ser escrito como:

Passo 3

Agora, vamos separar as variáveis e . Para isso, dividimos ambos os lados por :

Passo 4

Agora, vamos integrar ambos os lados:
A integral do lado esquerdo:
E a integral do lado direito:
onde é a constante de integração.

Passo 5

Então, juntando tudo:
Podemos multiplicar tudo por 3 para simplificar:

Passo 6

Essa é a solução implícita da equação diferencial. Para encontrar explicitamente, seria necessário resolver uma equação cúbica, o que pode ser complicado. Então, deixamos a solução nessa forma.

Passo 7

Agora, vamos verificar as condições do Teorema de Existência e Unicidade. Esse teorema diz que se a função e sua derivada parcial em relação a , , forem contínuas em um retângulo ao redor do ponto inicial , então existe uma solução única nesse ponto.

Passo 8

A função é contínua para todo e , pois o denominador nunca é zero (já que ). A derivada parcial também é contínua para todo e .

Passo 9

Portanto, as hipóteses do Teorema de Existência e Unicidade são satisfeitas em todo o plano . Isso significa que para qualquer valor inicial , existe uma única solução para a equação diferencial.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é , e as hipóteses do Teorema de Existência e Unicidade são satisfeitas em todo o plano .

Exercícios relacionados

Encontre soluções para os problemas de valor inicial
e , para .
Determine se cada uma das equações abaixo é exata ou não. Se for exata, encontre sua solução (implicitamente).
.
  1. Resolva cada um dos problemas de valor inicial abaixo.
    (a) .
Verifique se as equações abaixo são homogêneas. Em caso afirmativo, resolva as respectivas equações.
.