Encontre soluções para os problemas de valor inicial
y'(t) = e^(3 t) e y(0) = e/3, para t in (0, pi).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial. A gente tem uma equação diferencial e uma condição inicial . Isso significa que queremos encontrar a função que, além de satisfazer essa equação, passa pelo ponto no gráfico. Para resolver, vamos precisar integrar a função e depois usar a condição inicial para achar a constante da integração.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar a equação diferencial. Sabemos que , então para encontrar , basta fazer a integral de em relação a :
A integral de é , onde é uma constante. Aqui, , então:
onde é a constante de integração que precisamos determinar.

Passo 3

Agora, vamos usar a condição inicial para achar o valor de . Substituímos na expressão de :
Como , temos:
Resolvendo para :

Passo 4

Agora que temos , podemos escrever a solução completa da equação diferencial:
Podemos simplificar isso colocando tudo sobre o mesmo denominador:

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:

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