Encontre soluções para os problemas de valor inicial
e
, para
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial. A gente tem uma equação diferencial
e uma condição inicial
. Isso significa que queremos encontrar a função
que, além de satisfazer essa equação, passa pelo ponto
no gráfico. Para resolver, vamos precisar integrar a função
e depois usar a condição inicial para achar a constante da integração.
Passo 2
Primeiro, vamos integrar a equação diferencial. Sabemos que
, então para encontrar
, basta fazer a integral de
em relação a
:
A integral de
é
, onde
é uma constante. Aqui,
, então:
onde
é a constante de integração que precisamos determinar.
Passo 3
Agora, vamos usar a condição inicial
para achar o valor de
. Substituímos
na expressão de
:
Como
, temos:
Resolvendo para
:
Passo 4
Agora que temos
, podemos escrever a solução completa da equação diferencial:
Podemos simplificar isso colocando tudo sobre o mesmo denominador:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é:
Exercícios relacionados
Determine se cada uma das equações abaixo é exata ou não. Se for exata, encontre sua solução (implicitamente).
.
Ache a solução, na forma explícita, dos problemas abaixo.
Resolva cada uma das equações abaixo e estabeleça as regiões do plano ty em que são satisfeitas as hipóteses do Teorema de Existência e Unicidade:
- Resolva cada um dos problemas de valor inicial abaixo.
(a).