Verifique se as equações abaixo são homogêneas. Em caso afirmativo, resolva as respectivas equações.
.

Passo 1

Vamos analisar a equação diferencial dada: . Nosso objetivo é verificar se essa equação é homogênea e, se for, resolvê-la. Para isso, vamos precisar entender o que caracteriza uma equação homogênea e aplicar técnicas de resolução de equações diferenciais homogêneas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma equação diferencial ser homogênea. Uma equação diferencial de primeira ordem é chamada de homogênea se podemos expressar a função que define em termos de uma única variável, geralmente a razão . Ou seja, a equação pode ser escrita na forma .

Passo 3

Vamos verificar se a equação dada atende a essa condição. Temos:
Podemos simplificar o lado direito dividindo cada termo por :
Observamos que está expresso em termos de e suas potências, portanto, a equação é homogênea.

Passo 4

Agora que sabemos que a equação é homogênea, vamos fazer uma substituição para facilitar a resolução. Seja , assim .

Passo 5

Calculando a derivada de em relação a :

Passo 6

Substituindo e na equação original:
Simplificando, subtraímos de ambos os lados:

Passo 7

Agora temos uma equação que relaciona e :
Essa é uma equação separável, o que significa que podemos separar as variáveis e em lados opostos da equação.

Passo 8

Separando as variáveis:

Passo 9

Integrando ambos os lados:
A integral do lado esquerdo é e do lado direito é , então:
Onde é a constante de integração.

Passo 10

Resolvendo para :
Lembrando que , temos:

Passo 11

Finalmente, isolando :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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  1. Resolva cada um dos problemas de valor inicial abaixo.
    (a) .
Resolva cada uma das equações abaixo e estabeleça as regiões do plano ty em que são satisfeitas as hipóteses do Teorema de Existência e Unicidade:
Determine a ordem das equações diferenciais abaixo:
;
Determine se cada uma das equações abaixo é exata ou não. Se for exata, encontre sua solução (implicitamente).
.