Verifique se as equações abaixo são homogêneas. Em caso afirmativo, resolva as respectivas equações.
.
Passo 1
Vamos analisar a equação diferencial dada:
. Nosso objetivo é verificar se essa equação é homogênea e, se for, resolvê-la. Para isso, vamos precisar entender o que caracteriza uma equação homogênea e aplicar técnicas de resolução de equações diferenciais homogêneas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma equação diferencial ser homogênea. Uma equação diferencial de primeira ordem é chamada de homogênea se podemos expressar a função que define
em termos de uma única variável, geralmente a razão
. Ou seja, a equação pode ser escrita na forma
.
Passo 3
Vamos verificar se a equação dada atende a essa condição. Temos:
Podemos simplificar o lado direito dividindo cada termo por
:
Observamos que
está expresso em termos de
e suas potências, portanto, a equação é homogênea.
Passo 4
Agora que sabemos que a equação é homogênea, vamos fazer uma substituição para facilitar a resolução. Seja
, assim
.
Passo 5
Calculando a derivada de
em relação a
:
Passo 6
Substituindo
e
na equação original:
Simplificando, subtraímos
de ambos os lados:
Passo 7
Agora temos uma equação que relaciona
e
:
Essa é uma equação separável, o que significa que podemos separar as variáveis
e
em lados opostos da equação.
Passo 8
Separando as variáveis:
Passo 9
Integrando ambos os lados:
A integral do lado esquerdo é
e do lado direito é
, então:
Onde
é a constante de integração.
Passo 10
Resolvendo para
:
Lembrando que
, temos:
Passo 11
Finalmente, isolando
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
- Resolva cada um dos problemas de valor inicial abaixo.
(a).
Resolva cada uma das equações abaixo e estabeleça as regiões do plano ty em que são satisfeitas as hipóteses do Teorema de Existência e Unicidade:
Determine a ordem das equações diferenciais abaixo:
;
Determine se cada uma das equações abaixo é exata ou não. Se for exata, encontre sua solução (implicitamente).
.