2b
Aqui, lembre-se de que x, y, z >= 0, de forma que a região de integração está limitada pelos dois eixos coordenados. Se pensarmos no volume abaixo de z, a função a ser integrada será dada por z=raiz4-x^2 (pois z >= 0 ), e a região de integração será apenas um quarto do círculo dado por x^2+y^2=4. Os limites de integração, portanto, podem ser dados 0 <= y <= raiz4-x^2 e 0 <= x <= 2 (ou análogos invertendo-se x e y.) E a integral a ser resolvida, nesse caso, seria :
integral0^2 integral0^raiz4-x^2 raiz4-x^2 d y d x, que é igual a 163. Monte a integral tripla que calcula este volume e resolva apenas a primeira integral, isso já resultará na integral dupla acima.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para montar uma integral tripla que calcula o volume abaixo da superfície nas regiões onde . Estamos trabalhando com cálculo de volumes usando integrais múltiplas, mais especificamente integrais triplas. Para resolver isso, vamos precisar entender como configurar os limites de integração para cada variável , e .

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o que estamos tentando calcular. A superfície representa a parte superior de um semicirculo no plano . Como e são não negativos, estamos olhando apenas para o quarto de círculo onde varia de 0 a 2.

Passo 3

Agora, vamos definir os limites de integração para cada variável:
  1. Para : Como estamos no primeiro quadrante e a equação representa um círculo de raio 2, varia de 0 a 2.
  2. Para : Para cada valor de , varia de 0 até a borda do círculo, que é .
  3. Para : Dado um ponto , varia de 0 até a superfície .

Passo 4

Com esses limites em mente, podemos montar a integral tripla. A ordem de integração será integral0^2 integral0^raiz4 - x^2 integral0^raiz4 -x^2 dz, dy, dx , , , o que significa que vamos integrar primeiro em relação a , depois e finalmente .

Passo 5

Agora, vamos resolver apenas a primeira integral, que é a integral em relação a integral0^raiz4 - x^2 dz = raiz4 - x^2 - 0 = raiz4 - x^2 . Integrar de 0 até é simples:

Resposta

Após resolver a primeira integral, a integral tripla fica reduzida à integral dupla:
integral0^2 integral0^raiz4 - x^2 raiz4 - x^2, dy, dx
Essa integral dupla é igual a .

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