2b
Aqui, lembre-se de que
, de forma que a região de integração está limitada pelos dois eixos coordenados. Se pensarmos no volume abaixo de
, a função a ser integrada será dada por
(pois
), e a região de integração será apenas um quarto do círculo dado por
. Os limites de integração, portanto, podem ser dados
e
(ou análogos invertendo-se
e
.) E a integral a ser resolvida, nesse caso, seria :
, que é igual a
. Monte a integral tripla que calcula este volume e resolva apenas a primeira integral, isso já resultará na integral dupla acima.
Aqui, lembre-se de que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para montar uma integral tripla que calcula o volume abaixo da superfície
nas regiões onde
. Estamos trabalhando com cálculo de volumes usando integrais múltiplas, mais especificamente integrais triplas. Para resolver isso, vamos precisar entender como configurar os limites de integração para cada variável
,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o que estamos tentando calcular. A superfície
representa a parte superior de um semicirculo no plano
. Como
e
são não negativos, estamos olhando apenas para o quarto de círculo onde
varia de 0 a 2.
Passo 3
Agora, vamos definir os limites de integração para cada variável:
-
Para
: Como estamos no primeiro quadrante e a equação representa um círculo de raio 2, varia de 0 a 2. -
Para
: Para cada valor de , varia de 0 até a borda do círculo, que é . -
Para
: Dado um ponto , varia de 0 até a superfície .
Passo 4
Com esses limites em mente, podemos montar a integral tripla. A ordem de integração será
,
,
, o que significa que vamos integrar primeiro em relação a
, depois
e finalmente
.
Passo 5
Agora, vamos resolver apenas a primeira integral, que é a integral em relação a
. Integrar
de 0 até
é simples:
Resposta
Após resolver a primeira integral, a integral tripla fica reduzida à integral dupla:
Essa integral dupla é igual a
.
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