Um grupo de escoteiros possui uma peça de lona circular de
de raio. Cortando-se um setor circular pode-se construir uma tenda de forma cônica. Quais as dimensões da tenda para que o seu volume seja máximo?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma lona circular com raio de 3 metros. A ideia é cortar um setor dessa lona e transformar o pedaço restante em uma tenda cônica. Nosso objetivo é descobrir quais devem ser as dimensões dessa tenda para que o volume dela seja o maior possível. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria dos círculos e dos cones, além de um pouco de cálculo para otimizar o volume.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a lona se transforma em uma tenda. Quando cortamos um setor da lona e juntamos as bordas, formamos um cone. O comprimento da circunferência da base do cone será igual ao comprimento da borda da lona que sobraram.
Passo 3
Sabemos que o comprimento da circunferência completa da lona é
, onde
. Se cortarmos um setor com ângulo
(em radianos), o comprimento da borda que resta será
. Esse comprimento será igual à circunferência da base do cone,
, onde
é o raio da base do cone.
Então, temos:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos relacionar a altura
do cone com o raio
e a geratriz
(que é igual ao raio da lona,
) usando o Teorema de Pitágoras:
Como
, temos:
Passo 5
O volume
do cone é dado por:
Substituindo
pela expressão que encontramos:
Para facilitar a otimização, vamos expressar
em termos de
. De
, temos:
Passo 6
Para encontrar o valor de
que maximiza o volume, precisamos derivar
em relação a
e igualar a zero:
Após derivar e resolver a equação, encontramos que o volume máximo ocorre quando
Passo 7
Com
, podemos encontrar o raio da base do cone:
E a altura do cone:
Resposta
As dimensões da tenda que maximizam o volume são um raio da base de 2 metros e uma altura de aproximadamente 2,236 metros.