Um grupo de escoteiros possui uma peça de lona circular de 3 m de raio. Cortando-se um setor circular pode-se construir uma tenda de forma cônica. Quais as dimensões da tenda para que o seu volume seja máximo?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma lona circular com raio de 3 metros. A ideia é cortar um setor dessa lona e transformar o pedaço restante em uma tenda cônica. Nosso objetivo é descobrir quais devem ser as dimensões dessa tenda para que o volume dela seja o maior possível. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria dos círculos e dos cones, além de um pouco de cálculo para otimizar o volume.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a lona se transforma em uma tenda. Quando cortamos um setor da lona e juntamos as bordas, formamos um cone. O comprimento da circunferência da base do cone será igual ao comprimento da borda da lona que sobraram.

Passo 3

Sabemos que o comprimento da circunferência completa da lona é , onde . Se cortarmos um setor com ângulo (em radianos), o comprimento da borda que resta será . Esse comprimento será igual à circunferência da base do cone, , onde é o raio da base do cone.
Então, temos:
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos relacionar a altura do cone com o raio e a geratriz (que é igual ao raio da lona, ) usando o Teorema de Pitágoras:
Como , temos:

Passo 5

O volume do cone é dado por:
Substituindo pela expressão que encontramos:
Para facilitar a otimização, vamos expressar em termos de . De , temos:

Passo 6

Para encontrar o valor de que maximiza o volume, precisamos derivar em relação a e igualar a zero:
Após derivar e resolver a equação, encontramos que o volume máximo ocorre quando

Passo 7

Com , podemos encontrar o raio da base do cone:
E a altura do cone:

Resposta

As dimensões da tenda que maximizam o volume são um raio da base de 2 metros e uma altura de aproximadamente 2,236 metros.

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