Um tipógrafo quer imprimir boletins com 512 cm^2 de texto impresso, com margens superior e inferior de 6 cm e margens laterais de 3 cm cada uma. Quais as dimensões da folha para minimizar o gasto de papel?

Passo 1

Então, a gente tem um tipógrafo que quer imprimir boletins com uma área de texto de . Além disso, ele precisa deixar margens: 6 cm no topo e na parte de baixo, e 3 cm nas laterais. Nosso objetivo é descobrir quais devem ser as dimensões da folha inteira para usar a menor quantidade de papel possível. Para isso, vamos usar conceitos de otimização em matemática, especialmente cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as variáveis:
  • Seja a largura do texto impresso.
  • Seja a altura do texto impresso.
Sabemos que a área do texto é:
Ou seja,

Passo 3

Agora, vamos considerar as margens. A folha inteira terá margens adicionadas ao texto impresso:
  • A largura total da folha será cm (3 cm de cada lado).
  • A altura total da folha será cm (6 cm no topo e na parte de baixo).

Passo 4

A gente quer minimizar a área total da folha, que é:
Substituindo da equação :
Então, substituindo na área:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão para facilitar a derivação:
Multiplicando:

Passo 6

Para encontrar o valor de que minimiza , vamos derivar em relação a e igualar a zero:
Resolvendo para :

Passo 7

Agora que encontramos , vamos encontrar :

Resposta

As dimensões da folha para minimizar o gasto de papel são:
  • Largura total:
  • Altura total:

Exercícios relacionados

Calcule o máximo e o mínimo absolutos (se existir) da função dada no intervalo especificado:
f(x) = 2x + 8/x + 2, x > 0.
Nas questões de 17 a 31, determine (se houver):
a) Pontos Críticos;
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento;
c) Pontos de máximo e mínimos locais;
d) Concavidade;
e) Pontos de inflexão;
f) Esboço do gráfico;
y = (4 - x^2) / (x + 1)
2b
Aqui, lembre-se de que x, y, z >= 0, de forma que a região de integração está limitada pelos dois eixos coordenados. Se pensarmos no volume abaixo de z, a função a ser integrada será dada por z=raiz4-x^2 (pois z >= 0 ), e a região de integração será apenas um quarto do círculo dado por x^2+y^2=4. Os limites de integração, portanto, podem ser dados 0 <= y <= raiz4-x^2 e 0 <= x <= 2 (ou análogos invertendo-se x e y.) E a integral a ser resolvida, nesse caso, seria :
integral0^2 integral0^raiz4-x^2 raiz4-x^2 d y d x, que é igual a 163. Monte a integral tripla que calcula este volume e resolva apenas a primeira integral, isso já resultará na integral dupla acima.
Um grupo de escoteiros possui uma peça de lona circular de 3 m de raio. Cortando-se um setor circular pode-se construir uma tenda de forma cônica. Quais as dimensões da tenda para que o seu volume seja máximo?