Um tipógrafo quer imprimir boletins com
de texto impresso, com margens superior e inferior de 6 cm e margens laterais de 3 cm cada uma. Quais as dimensões da folha para minimizar o gasto de papel?
Passo 1
Então, a gente tem um tipógrafo que quer imprimir boletins com uma área de texto de
. Além disso, ele precisa deixar margens: 6 cm no topo e na parte de baixo, e 3 cm nas laterais. Nosso objetivo é descobrir quais devem ser as dimensões da folha inteira para usar a menor quantidade de papel possível. Para isso, vamos usar conceitos de otimização em matemática, especialmente cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as variáveis:
- Seja
a largura do texto impresso. - Seja
a altura do texto impresso.
Sabemos que a área do texto é:
Ou seja,
Passo 3
Agora, vamos considerar as margens. A folha inteira terá margens adicionadas ao texto impresso:
- A largura total da folha será
cm (3 cm de cada lado). - A altura total da folha será
cm (6 cm no topo e na parte de baixo).
Passo 4
A gente quer minimizar a área total da folha, que é:
Substituindo
da equação
:
Então, substituindo na área:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão para facilitar a derivação:
Multiplicando:
Passo 6
Para encontrar o valor de
que minimiza
, vamos derivar
em relação a
e igualar a zero:
Resolvendo para
:
Passo 7
Agora que encontramos
, vamos encontrar
:
Resposta
As dimensões da folha para minimizar o gasto de papel são:
- Largura total:
- Altura total:
Exercícios relacionados
Calcule o máximo e o mínimo absolutos (se existir) da função dada no intervalo especificado:
.
Nas questões de 17 a 31, determine (se houver):
a) Pontos Críticos;
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento;
c) Pontos de máximo e mínimos locais;
d) Concavidade;
e) Pontos de inflexão;
f) Esboço do gráfico;
a) Pontos Críticos;
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento;
c) Pontos de máximo e mínimos locais;
d) Concavidade;
e) Pontos de inflexão;
f) Esboço do gráfico;
2b
Aqui, lembre-se de que , de forma que a região de integração está limitada pelos dois eixos coordenados. Se pensarmos no volume abaixo de
, a função a ser integrada será dada por
(pois
), e a região de integração será apenas um quarto do círculo dado por
. Os limites de integração, portanto, podem ser dados
e
(ou análogos invertendo-se
e
.) E a integral a ser resolvida, nesse caso, seria :
, que é igual a
. Monte a integral tripla que calcula este volume e resolva apenas a primeira integral, isso já resultará na integral dupla acima.
Aqui, lembre-se de que
Um grupo de escoteiros possui uma peça de lona circular de
de raio. Cortando-se um setor circular pode-se construir uma tenda de forma cônica. Quais as dimensões da tenda para que o seu volume seja máximo?