Calcule o máximo e o mínimo absolutos (se existir) da função dada no intervalo especificado:
f(x) = 2x + 8/x + 2, x > 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o máximo e o mínimo absolutos da função no intervalo onde . Vamos usar cálculo, especialmente derivadas, pra achar esses pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa encontrar máximos e mínimos absolutos. Um máximo absoluto é o maior valor que a função atinge no intervalo considerado, e o mínimo absoluto é o menor valor. Para achar esses pontos, a gente precisa encontrar onde a taxa de variação da função é zero, ou seja, onde a derivada da função é igual a zero.

Passo 3

Vamos calcular a derivada da função . A derivada nos dá a inclinação da função em cada ponto.
A derivada de é , a derivada de é , e a derivada de é . Então,

Passo 4

Agora, vamos encontrar os pontos críticos onde a derivada é igual a zero:
Vamos resolver essa equação para :
Então, temos um ponto crítico em .

Passo 5

Precisamos verificar se esse ponto crítico é um mínimo ou um máximo. Para isso, vamos analisar a segunda derivada ou observar o comportamento da derivada em torno desse ponto. Mas, de forma mais simples, vamos ver como a função se comporta quando varia:
  • Quando se aproxima de 0 ( ), cresce para infinito positivo, então .
  • Quando cresce sem limite ( ), domina e .
Como a função tende a infinito em ambos os extremos e tem apenas um ponto crítico, esse ponto deve ser um mínimo absoluto.

Passo 6

Vamos calcular o valor da função nesse ponto para encontrar o mínimo absoluto:

Resposta

A função possui um mínimo absoluto em com e não possui máximo absoluto no intervalo .

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