Calcule o máximo e o mínimo absolutos (se existir) da função dada no intervalo especificado:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o máximo e o mínimo absolutos da função
no intervalo onde
. Vamos usar cálculo, especialmente derivadas, pra achar esses pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa encontrar máximos e mínimos absolutos. Um máximo absoluto é o maior valor que a função atinge no intervalo considerado, e o mínimo absoluto é o menor valor. Para achar esses pontos, a gente precisa encontrar onde a taxa de variação da função é zero, ou seja, onde a derivada da função é igual a zero.
Passo 3
Vamos calcular a derivada da função
. A derivada nos dá a inclinação da função em cada ponto.
A derivada de
é
, a derivada de
é
, e a derivada de
é
. Então,
Passo 4
Agora, vamos encontrar os pontos críticos onde a derivada é igual a zero:
Vamos resolver essa equação para
:
Então, temos um ponto crítico em
.
Passo 5
Precisamos verificar se esse ponto crítico é um mínimo ou um máximo. Para isso, vamos analisar a segunda derivada ou observar o comportamento da derivada em torno desse ponto. Mas, de forma mais simples, vamos ver como a função se comporta quando
varia:
- Quando
se aproxima de 0 ( ), cresce para infinito positivo, então . - Quando
cresce sem limite ( ), domina e .
Como a função tende a infinito em ambos os extremos e tem apenas um ponto crítico, esse ponto deve ser um mínimo absoluto.
Passo 6
Vamos calcular o valor da função nesse ponto para encontrar o mínimo absoluto:
Resposta
A função
possui um mínimo absoluto em
com
e não possui máximo absoluto no intervalo
.