Calcule o máximo e o mínimo absolutos (se existir) da função dada no intervalo especificado:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o máximo e o mínimo absolutos da função
no intervalo onde
. Vamos usar cálculo, especialmente derivadas, pra achar esses pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa encontrar máximos e mínimos absolutos. Um máximo absoluto é o maior valor que a função atinge no intervalo considerado, e o mínimo absoluto é o menor valor. Para achar esses pontos, a gente precisa encontrar onde a taxa de variação da função é zero, ou seja, onde a derivada da função é igual a zero.
Passo 3
Vamos calcular a derivada da função
. A derivada nos dá a inclinação da função em cada ponto.
A derivada de
é
, a derivada de
é
, e a derivada de
é
. Então,
Passo 4
Agora, vamos encontrar os pontos críticos onde a derivada é igual a zero:
Vamos resolver essa equação para
:
Então, temos um ponto crítico em
.
Passo 5
Precisamos verificar se esse ponto crítico é um mínimo ou um máximo. Para isso, vamos analisar a segunda derivada ou observar o comportamento da derivada em torno desse ponto. Mas, de forma mais simples, vamos ver como a função se comporta quando
varia:
- Quando
se aproxima de 0 ( ), cresce para infinito positivo, então . - Quando
cresce sem limite ( ), domina e .
Como a função tende a infinito em ambos os extremos e tem apenas um ponto crítico, esse ponto deve ser um mínimo absoluto.
Passo 6
Vamos calcular o valor da função nesse ponto para encontrar o mínimo absoluto:
Resposta
A função
possui um mínimo absoluto em
com
e não possui máximo absoluto no intervalo
.
Exercícios relacionados
Nas questões de 17 a 31, determine (se houver):
a) Pontos Críticos;
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento;
c) Pontos de máximo e mínimos locais;
d) Concavidade;
e) Pontos de inflexão;
f) Esboço do gráfico;
a) Pontos Críticos;
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento;
c) Pontos de máximo e mínimos locais;
d) Concavidade;
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f) Esboço do gráfico;
Exercícios diversos.
Use uma integral tripla para calcular o volume do sólido acima do plano , abaixo do plano
; e limitado lateralmente pelo cilindro
e pelo plano
.
Use uma integral tripla para calcular o volume do sólido acima do plano
Um tipógrafo quer imprimir boletins com
de texto impresso, com margens superior e inferior de 6 cm e margens laterais de 3 cm cada uma. Quais as dimensões da folha para minimizar o gasto de papel?
2b
Aqui, lembre-se de que , de forma que a região de integração está limitada pelos dois eixos coordenados. Se pensarmos no volume abaixo de
, a função a ser integrada será dada por
(pois
), e a região de integração será apenas um quarto do círculo dado por
. Os limites de integração, portanto, podem ser dados
e
(ou análogos invertendo-se
e
.) E a integral a ser resolvida, nesse caso, seria :
, que é igual a
. Monte a integral tripla que calcula este volume e resolva apenas a primeira integral, isso já resultará na integral dupla acima.
Aqui, lembre-se de que