Calcule o máximo e o mínimo absolutos (se existir) da função dada no intervalo especificado:
f(x) = 2x + 8/x + 2, x > 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o máximo e o mínimo absolutos da função no intervalo onde . Vamos usar cálculo, especialmente derivadas, pra achar esses pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa encontrar máximos e mínimos absolutos. Um máximo absoluto é o maior valor que a função atinge no intervalo considerado, e o mínimo absoluto é o menor valor. Para achar esses pontos, a gente precisa encontrar onde a taxa de variação da função é zero, ou seja, onde a derivada da função é igual a zero.

Passo 3

Vamos calcular a derivada da função . A derivada nos dá a inclinação da função em cada ponto.
A derivada de é , a derivada de é , e a derivada de é . Então,

Passo 4

Agora, vamos encontrar os pontos críticos onde a derivada é igual a zero:
Vamos resolver essa equação para :
Então, temos um ponto crítico em .

Passo 5

Precisamos verificar se esse ponto crítico é um mínimo ou um máximo. Para isso, vamos analisar a segunda derivada ou observar o comportamento da derivada em torno desse ponto. Mas, de forma mais simples, vamos ver como a função se comporta quando varia:
  • Quando se aproxima de 0 ( ), cresce para infinito positivo, então .
  • Quando cresce sem limite ( ), domina e .
Como a função tende a infinito em ambos os extremos e tem apenas um ponto crítico, esse ponto deve ser um mínimo absoluto.

Passo 6

Vamos calcular o valor da função nesse ponto para encontrar o mínimo absoluto:

Resposta

A função possui um mínimo absoluto em com e não possui máximo absoluto no intervalo .

Exercícios relacionados

Nas questões de 17 a 31, determine (se houver):
a) Pontos Críticos;
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento;
c) Pontos de máximo e mínimos locais;
d) Concavidade;
e) Pontos de inflexão;
f) Esboço do gráfico;
y = (4 - x^2) / (x + 1)
Exercícios diversos.
Use uma integral tripla para calcular o volume do sólido acima do plano x y, abaixo do plano z = x; e limitado lateralmente pelo cilindro y^2 = x e pelo plano x = 1.
Um tipógrafo quer imprimir boletins com 512 cm^2 de texto impresso, com margens superior e inferior de 6 cm e margens laterais de 3 cm cada uma. Quais as dimensões da folha para minimizar o gasto de papel?
2b
Aqui, lembre-se de que x, y, z >= 0, de forma que a região de integração está limitada pelos dois eixos coordenados. Se pensarmos no volume abaixo de z, a função a ser integrada será dada por z=raiz4-x^2 (pois z >= 0 ), e a região de integração será apenas um quarto do círculo dado por x^2+y^2=4. Os limites de integração, portanto, podem ser dados 0 <= y <= raiz4-x^2 e 0 <= x <= 2 (ou análogos invertendo-se x e y.) E a integral a ser resolvida, nesse caso, seria :
integral0^2 integral0^raiz4-x^2 raiz4-x^2 d y d x, que é igual a 163. Monte a integral tripla que calcula este volume e resolva apenas a primeira integral, isso já resultará na integral dupla acima.