Calcule a integral indefinida:
Passo 1
Então, temos que calcular a integral indefinida:
Aqui, estamos lidando com cálculo de integrais, mais especificamente, usando a técnica de substituição. Para resolver isso, vamos precisar entender como escolher uma substituição que simplifique a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar qual parte da função pode ser substituída para simplificar a integral. Observamos que dentro da função tangente temos
. Vamos chamar essa expressão de
:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja,
:
Isso significa que:
Passo 4
Perceba que na nossa integral original temos
. Podemos expressar
em termos de
:
Passo 5
Substituindo
e
na integral original, temos:
Passo 6
Agora, precisamos integrar
em relação a
. Sabemos que:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Substituindo de volta
, temos:
Resposta
A integral indefinida é:
Exercícios relacionados
Um grupo de escoteiros possui uma peça de lona circular de
de raio. Cortando-se um setor circular pode-se construir uma tenda de forma cônica. Quais as dimensões da tenda para que o seu volume seja máximo?
2b
Aqui, lembre-se de que , de forma que a região de integração está limitada pelos dois eixos coordenados. Se pensarmos no volume abaixo de
, a função a ser integrada será dada por
(pois
), e a região de integração será apenas um quarto do círculo dado por
. Os limites de integração, portanto, podem ser dados
e
(ou análogos invertendo-se
e
.) E a integral a ser resolvida, nesse caso, seria :
, que é igual a
. Monte a integral tripla que calcula este volume e resolva apenas a primeira integral, isso já resultará na integral dupla acima.
Aqui, lembre-se de que
Certa fábrica produz embalagens retangulares de papelão. Um de seus compradores exige que as caixas tenham
de comprimento e
de volume. Quais as dimensões de cada caixa para que o fabricante use a menor quantidade de papelão?
Nas questões de 17 a 31, determine (se houver):
a) Pontos Críticos;
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento;
c) Pontos de máximo e mínimos locais;
d) Concavidade;
e) Pontos de inflexão;
f) Esboço do gráfico;
a) Pontos Críticos;
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento;
c) Pontos de máximo e mínimos locais;
d) Concavidade;
e) Pontos de inflexão;
f) Esboço do gráfico;