Calcule a integral indefinida: integral x tg(x^2+1) d x

Passo 1

Então, temos que calcular a integral indefinida:
integral x tg(x^2+1) dx
Aqui, estamos lidando com cálculo de integrais, mais especificamente, usando a técnica de substituição. Para resolver isso, vamos precisar entender como escolher uma substituição que simplifique a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar qual parte da função pode ser substituída para simplificar a integral. Observamos que dentro da função tangente temos u = x^2 + 1 . Vamos chamar essa expressão de :

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de dudx = 2x em relação a du = 2x , dx , ou seja, :
Isso significa que:

Passo 4

Perceba que na nossa integral original temos x , dx = du2 . Podemos expressar em termos de :

Passo 5

Substituindo integral x tg(x^2+1) dx = integral tg(u) cdot du2 = 12 integral tg(u) du e na integral original, temos:

Passo 6

Agora, precisamos integrar integral tg(u) du = -ln|cos(u)| + C em relação a . Sabemos que:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Substituindo de volta 12 integral tg(u) du = 12 ( -ln|cos(x^2 + 1)| ) + C = -12 ln|cos(x^2 + 1)| + C , temos:

Resposta

A integral indefinida é:
integral x tg(x^2+1) dx = -12 ln|cos(x^2 + 1)| + C

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