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Determinar a série de Fourier indicada para a função dada. Encontrar a função para a qual a série converge e escoçar seu gráfico em um intervalo de três períodos. série de senos, período .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinarmos a série de Fourier, especificamente uma série de senos, para uma função dada. Além disso, precisamos encontrar para qual função essa série converge e esboçar o gráfico dessa função em um intervalo de três períodos.
Matéria envolvida: Série de Fourier (Série de Senos), Período da função, Convergência de séries.
O que vamos precisar:
Entender como construir uma série de Fourier usando apenas senos.
Calcular os coeficientes da série de Fourier.
Compreender onde a série converge para a função original.
Saber representar graficamente a função em múltiplos períodos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função que nos foi dada:
Essa função é definida num intervalo de a , e o período da função é . Isso significa que a função se repete a cada unidades de .
Passo 3
Como queremos uma série de senos, isso indica que a função é uma função ímpar em torno de um ponto específico. No nosso caso, vamos considerar a função definida no intervalo e estendê-la de forma impar para cobrir todo o período.
Função ímpar: Uma função é ímpar se . Funções ímpares têm suas séries de Fourier compostas apenas por senos.
Passo 4
Para construir a série de Fourier de senos, usamos a seguinte fórmula para os coeficientes:
Onde:
é a metade do período, então .
é o número do termo na série.
Passo 5
Vamos calcular os coeficientes :
Simplificando:
Passo 6
Calculando as integrais:
Primeira integral:
Segunda integral:
Passo 7
Somando as duas partes:
Simplificando:
Passo 8
Agora, podemos expressar a série de Fourier de senos:
Simplificando mais:
Passo 9
Função para a qual a série converge:
A série de Fourier que encontramos converge para a função original onde a função é contínua. Nos pontos de descontinuidade (como ), a série converge para a média dos limites laterais.
Passo 10
Esboço do gráfico em um intervalo de três períodos:
Para esboçar o gráfico, precisamos considerar o comportamento da função em cada intervalo de :
De a : a função é dada pelo enunciado.
De a : a função se repete, pois o período é .
Portanto, o gráfico será uma sequência de “degraus” com alturas 0, 1 e 2, repetindo a cada unidades.
Resposta
A série de Fourier de senos para a função dada é:
Essa série converge para a função original nos pontos onde a função é contínua e para a média dos limites nos pontos de descontinuidade. O gráfico da função consiste em “degraus” nos níveis 0, 1 e 2, repetindo-se a cada unidades, abrangendo três períodos no intervalo considerado.