2e
Determinar a série de Fourier indicada para a função dada. Encontrar a função para a qual a série converge e escoçar seu gráfico em um intervalo de três períodos. série de cossenos, período .
Passo 1
Então, a gente tem um exercício de séries de Fourier. A função que a gente quer representar é , que é igual a quando e igual a 0 quando . A série de Fourier que a gente vai usar é a série de cossenos, e o período dessa função é . Vamos precisar das fórmulas das séries de Fourier para funções de período usando apenas cossenos para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a fórmula geral da série de cossenos para uma função com período . A série de Fourier de pode ser escrita assim:
Simplificando, como o período é , a fórmula fica:
Passo 3
Vamos calcular o coeficiente . Esse coeficiente representa a média da função no intervalo do período. A fórmula para é:
Substituindo :
Como a função é periódica com período , podemos calcular apenas no intervalo a e multiplicar apropriadamente.
Passo 4
Primeiro, calculamos a integral de de a :
A segunda parte da integral, de a , é zero porque nesse intervalo.
Então,
Passo 5
Agora, vamos calcular os coeficientes para . A fórmula para é:
Substituindo :
Como a função é periódica, podemos focar no intervalo a :
Então,
Passo 6
Vamos resolver a integral por partes. Seja e . Então, e .
Aplicando integração por partes:
Então,
Calculando a primeira parte:
Agora, a segunda integral:
Portanto, a integral completa fica:
Passo 7
Substituindo de volta no coeficiente :
Passo 8
Agora, podemos escrever a série de Fourier de :
Passo 9
A série converge para a função nos pontos onde é contínua. Nos pontos de descontinuidade, a série converge para a média dos limites à esquerda e à direita.
Passo 10
Sobre o gráfico, a série de Fourier representada por essa soma infinita de cossenos vai se aproximar da forma da função original , que é um pedaço linear crescente de 0 a , depois zero de a , e isso se repete a cada . Em três períodos, você veria esse padrão se repetindo três vezes.
Resposta
A série de Fourier de é dada por:
A série converge para a função nos pontos contínuos e para a média dos limites nos pontos de descontinuidade. O gráfico da série em três períodos mostra o padrão de um segmento linear de a , igual a , e zero de a , repetindo-se a cada .