2e
Determinar a série de Fourier indicada para a função dada. Encontrar a função para a qual a série converge e escoçar seu gráfico em um intervalo de três períodos.
série de cossenos, período .

Passo 1

Então, a gente tem um exercício de séries de Fourier. A função que a gente quer representar é , que é igual a quando e igual a 0 quando . A série de Fourier que a gente vai usar é a série de cossenos, e o período dessa função é . Vamos precisar das fórmulas das séries de Fourier para funções de período usando apenas cossenos para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a fórmula geral da série de cossenos para uma função com período . A série de Fourier de pode ser escrita assim:
Simplificando, como o período é , a fórmula fica:

Passo 3

Vamos calcular o coeficiente . Esse coeficiente representa a média da função no intervalo do período. A fórmula para é:
Substituindo :
Como a função é periódica com período , podemos calcular apenas no intervalo a e multiplicar apropriadamente.

Passo 4

Primeiro, calculamos a integral de de a :
A segunda parte da integral, de a , é zero porque nesse intervalo.
Então,

Passo 5

Agora, vamos calcular os coeficientes para . A fórmula para é:
Substituindo :
Como a função é periódica, podemos focar no intervalo a :
Então,

Passo 6

Vamos resolver a integral por partes. Seja e . Então, e .
Aplicando integração por partes:
Então,
Calculando a primeira parte:
Agora, a segunda integral:
Portanto, a integral completa fica:

Passo 7

Substituindo de volta no coeficiente :

Passo 8

Agora, podemos escrever a série de Fourier de :

Passo 9

A série converge para a função nos pontos onde é contínua. Nos pontos de descontinuidade, a série converge para a média dos limites à esquerda e à direita.

Passo 10

Sobre o gráfico, a série de Fourier representada por essa soma infinita de cossenos vai se aproximar da forma da função original , que é um pedaço linear crescente de 0 a , depois zero de a , e isso se repete a cada . Em três períodos, você veria esse padrão se repetindo três vezes.

Resposta

A série de Fourier de é dada por:
A série converge para a função nos pontos contínuos e para a média dos limites nos pontos de descontinuidade. O gráfico da série em três períodos mostra o padrão de um segmento linear de a , igual a , e zero de a , repetindo-se a cada .

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3c
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;
2c
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série de senos, período .
5a
Encontre a série em senos mista de Fourier.
;
4b
Encontre a série em cossenos mista de Fourier.
;