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Esboce os gráficos da extensão periódica par
e da extensão periódica ímpar
, ambas com período
. Encontre as séries de Fourier em cossenos e em senos.
;
Esboce os gráficos da extensão periódica par
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de séries de Fourier! A gente precisa desenhar os gráficos das extensões periódicas par
e ímpar
da função dada
no intervalo
, ambas com período
. Depois, vamos encontrar as séries de Fourier usando cossenos (para a função par) e senos (para a função ímpar). Vamos precisar entender o que são extensões par e ímpar, além de como calcular as séries de Fourier para cada caso.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre extensões par e ímpar. Uma extensão par de uma função faz com que a função seja simétrica em relação ao eixo y, ou seja,
. Já a extensão ímpar faz a função ser simétrica em relação à origem, ou seja,
.
Passo 3
Vamos começar criando a extensão par
da função
no intervalo
. Para isso, refletimos a função de
para
, mantendo a simetria em relação ao eixo y.
No intervalo
,
(porque o seno é uma função ímpar, mas estamos refletindo a funç��o para torná-la par, então mantemos
).
Passo 4
Agora, vamos criar a extensão ímpar
da mesma função
. Para isso, refletimos a função de
para
, invertendo o sinal, para manter a simetria em relação à origem.
No intervalo
,
.
Passo 5
Com as extensões definidas, vamos desenhar os gráficos de
e
com período
. Isso significa que os gráficos irão se repetir a cada
unidades.
Passo 6
Agora, vamos encontrar a série de Fourier em cossenos para a função par
. Como
é par, a série de Fourier será composta apenas por termos de cossenos:
Aqui,
, então a expressão fica:
Passo 7
Vamos calcular os coeficientes
para a série de cossenos:
Essa integral pode ser resolvida usando a identidade trigonométrica:
Passo 8
Integrando, obtemos:
Após calcular os limites, notamos que, para
, as contribuições se anulam, e apenas
permanece significativo.
Passo 9
Portanto, a série de Fourier em cossenos para
é:
Calculando
:
E
é zero, pois
é uma função de média zero no intervalo.
Passo 10
Agora, vamos encontrar a série de Fourier em senos para a função ímpar
. Como
é ímpar, a série de Fourier será composta apenas por termos de senos:
Com
, fica:
Passo 11
Calculando os coeficientes
:
Usamos a identidade trigonométrica:
Passo 12
Integrando, temos:
Novamente, a maioria dos termos se anulam, exceto quando
.
Passo 13
Portanto, a série de Fourier em senos para
é:
Calculando
:
Resposta
A série de Fourier para a extensão periódica par
é:
E para a extensão periódica ímpar
é: