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Esboce os gráficos da extensão periódica par e da extensão periódica ímpar , ambas com período . Encontre as séries de Fourier em cossenos e em senos. ;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de séries de Fourier! A gente precisa desenhar os gráficos das extensões periódicas par e ímpar da função dada no intervalo , ambas com período . Depois, vamos encontrar as séries de Fourier usando cossenos (para a função par) e senos (para a função ímpar). Vamos precisar entender o que são extensões par e ímpar, além de como calcular as séries de Fourier para cada caso.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre extensões par e ímpar. Uma extensão par de uma função faz com que a função seja simétrica em relação ao eixo y, ou seja, . Já a extensão ímpar faz a função ser simétrica em relação à origem, ou seja, .
Passo 3
Vamos começar criando a extensão par da função no intervalo . Para isso, refletimos a função de para , mantendo a simetria em relação ao eixo y.
No intervalo , (porque o seno é uma função ímpar, mas estamos refletindo a funç��o para torná-la par, então mantemos ).
Passo 4
Agora, vamos criar a extensão ímpar da mesma função . Para isso, refletimos a função de para , invertendo o sinal, para manter a simetria em relação à origem.
No intervalo , .
Passo 5
Com as extensões definidas, vamos desenhar os gráficos de e com período . Isso significa que os gráficos irão se repetir a cada unidades.
Passo 6
Agora, vamos encontrar a série de Fourier em cossenos para a função par . Como é par, a série de Fourier será composta apenas por termos de cossenos:
Aqui, , então a expressão fica:
Passo 7
Vamos calcular os coeficientes para a série de cossenos:
Essa integral pode ser resolvida usando a identidade trigonométrica:
Passo 8
Integrando, obtemos:
Após calcular os limites, notamos que, para , as contribuições se anulam, e apenas permanece significativo.
Passo 9
Portanto, a série de Fourier em cossenos para é:
Calculando :
E é zero, pois é uma função de média zero no intervalo.
Passo 10
Agora, vamos encontrar a série de Fourier em senos para a função ímpar . Como é ímpar, a série de Fourier será composta apenas por termos de senos:
Com , fica:
Passo 11
Calculando os coeficientes :
Usamos a identidade trigonométrica:
Passo 12
Integrando, temos:
Novamente, a maioria dos termos se anulam, exceto quando .
Passo 13
Portanto, a série de Fourier em senos para é:
Calculando :
Resposta
A série de Fourier para a extensão periódica par é: