5a
Encontre a série em senos mista de Fourier.
f(x) = cos(x), 0 < x < pi;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos a série de Fourier em senos mista para a função no intervalo . Isso significa que vamos decompor a função em uma soma infinita de senos. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries de Fourier e como calcular os coeficientes dessa série.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma série de Fourier em senos é usada para representar funções que são definidas em um intervalo e estendidas de forma impar. Já que nossa função é uma função par, vamos precisar estendê-la de forma impar para usar a série de senos.

Passo 3

A série de Fourier em senos para uma função no intervalo é dada por:
onde os coeficientes são calculados por:

Passo 4

Agora, vamos calcular os coeficientes para nossa função :
Para resolver essa integral, podemos usar a identidade trigonométrica:
Então, a integral fica:
Simplificando:
Sabendo que , podemos simplificar mais.

Passo 5

Para , temos:
E para , a integral original é zero porque a função .

Passo 6

Portanto, apenas para os valores de ímpares, os coeficientes não serão zero. Isso significa que a série de Fourier em senos mista para será composta apenas por termos de senos com índices ímpares.

Resposta

A série de Fourier em senos mista para no intervalo é dada por:

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