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Encontre a série em senos mista de Fourier.
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Encontre a série em senos mista de Fourier.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos a série de Fourier em senos mista para a função
no intervalo
. Isso significa que vamos decompor a função
em uma soma infinita de senos. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries de Fourier e como calcular os coeficientes dessa série.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma série de Fourier em senos é usada para representar funções que são definidas em um intervalo e estendidas de forma impar. Já que nossa função
é uma função par, vamos precisar estendê-la de forma impar para usar a série de senos.
Passo 3
A série de Fourier em senos para uma função
no intervalo
é dada por:
onde os coeficientes
são calculados por:
Passo 4
Agora, vamos calcular os coeficientes
para nossa função
:
Para resolver essa integral, podemos usar a identidade trigonométrica:
Então, a integral fica:
Simplificando:
Sabendo que
, podemos simplificar mais.
Passo 5
Para
, temos:
E para
, a integral original é zero porque a função
.
Passo 6
Portanto, apenas para os valores de
ímpares, os coeficientes
não serão zero. Isso significa que a série de Fourier em senos mista para
será composta apenas por termos de senos com índices ímpares.
Resposta
A série de Fourier em senos mista para
no intervalo
é dada por: