5a
Encontre a série em senos mista de Fourier.
;
Encontre a série em senos mista de Fourier.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos a série de Fourier em senos mista para a função
no intervalo
. Isso significa que vamos decompor a função
em uma soma infinita de senos. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries de Fourier e como calcular os coeficientes dessa série.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma série de Fourier em senos é usada para representar funções que são definidas em um intervalo e estendidas de forma impar. Já que nossa função
é uma função par, vamos precisar estendê-la de forma impar para usar a série de senos.
Passo 3
A série de Fourier em senos para uma função
no intervalo
é dada por:
onde os coeficientes
são calculados por:
Passo 4
Agora, vamos calcular os coeficientes
para nossa função
:
Para resolver essa integral, podemos usar a identidade trigonométrica:
Então, a integral fica:
Simplificando:
Sabendo que
, podemos simplificar mais.
Passo 5
Para
, temos:
E para
, a integral original é zero porque a função
.
Passo 6
Portanto, apenas para os valores de
ímpares, os coeficientes
não serão zero. Isso significa que a série de Fourier em senos mista para
será composta apenas por termos de senos com índices ímpares.
Resposta
A série de Fourier em senos mista para
no intervalo
é dada por:
Exercícios relacionados
2e
Determinar a série de Fourier indicada para a função dada. Encontrar a função para a qual a série converge e escoçar seu gráfico em um intervalo de três períodos.
série de cossenos, período
.
Determinar a série de Fourier indicada para a função dada. Encontrar a função para a qual a série converge e escoçar seu gráfico em um intervalo de três períodos.
3c
Esboce os gráficos da extensão periódica par e da extensão periódica ímpar
, ambas com período
. Encontre as séries de Fourier em cossenos e em senos.
;
Esboce os gráficos da extensão periódica par
4b
Encontre a série em cossenos mista de Fourier.
;
Encontre a série em cossenos mista de Fourier.
Suponha que a função dada é estendida periodicamente, para fora do intervalo original. Encontre a série de Fourier da função estendida. Determine a função para a qual a série converge e esboce seu gráfico por três períodos.