Equações de cônicas são muito comuns na geometria analítica. Esboce detalhadamente o lugar geométrico das seguintes cônicas no plano real, usando as propriedades de simetria das mesmas e um gráfico definido localmente (isto é, um b. A hipérbole
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício sobre hipérboles na geometria analítica. A gente vai trabalhar com a equação da hipérbole dada por
. Para esboçar o gráfico dessa hipérbole, vamos precisar entender as propriedades de simetria dela e como ela se comporta no plano. Vamos por partes para facilitar!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma hipérbole. Uma hipérbole é um tipo de cônica que tem duas “galhas” que se afastam indefinidamente. Ela é definida como o conjunto de pontos cuja diferença das distâncias para dois focos fixos é constante. No caso da equação
, essa hipérbole está centralizada na origem do plano cartesiano.
Passo 3
Agora, vamos identificar os elementos principais da hipérbole:
- Centro: O ponto central da hipérbole é a origem
. - Eixos: A hipérbole tem dois eixos: o eixo real (horizontal) e o eixo imaginário (vertical).
- Vértices: São os pontos onde a hipérbole corta o eixo real. Eles estão em
. - Focos: São pontos dentro das galhas usados para definir a hipérbole. A distância dos focos ao centro é
, onde . - Assíntotas: São retas que a hipérbole se aproxima, mas nunca toca. As equações das assíntotas são
.
Passo 4
Vamos calcular os valores de
,
e
. Se não forem dados valores específicos, vamos trabalhar com eles simbólicos:
-
é a distância do centro aos vértices no eixo real. -
está relacionado à distância do centro às assíntotas no eixo imaginário. -
é a distância dos focos ao centro.
Esses valores nos ajudam a desenhar a hipérbole corretamente no gráfico.
Passo 5
Com essas informações, vamos esboçar a hipérbole:
- Plotar o Centro: Marque o ponto
no plano. - Marcar os Vértices: Coloque pontos em
e . - Desenhar os Assíntotas: Trace as retas
e . Elas vão servir como guia para as galhas da hipérbole. - Localizar os Focos: Marque os focos em
e . - Desenhar as Galhas: A hipérbole terá duas partes, cada uma se aproximando das assíntotas. Use os vértices e as assíntotas para guiar o desenho das curvas.
Passo 6
Lembre-se das simetrias da hipérbole:
- Simetria em relação ao eixo x: A hipérbole é simétrica em relação ao eixo horizontal.
- Simetria em relação ao eixo y: No caso desta hipérbole específica, não há simetria em relação ao eixo y, já que a equação tem
positivo.
Essas simetrias ajudam a garantir que o esboço esteja correto e balanceado.
Resposta
Pronto! Com todos esses passos, você consegue esboçar a hipérbole
no plano real. Lembre-se de marcar o centro, os vértices, os focos e as assíntotas, e usar as simetrias para desenhar as galhas de forma precisa. Assim, você terá um gráfico claro e detalhado dessa hipérbole!
Exercícios relacionados
Idem, considerando as seguintes opções para uma função g:
a. (2EE-2013.2) .
a. (2EE-2013.2)
Idem, considerando as seguintes opções para uma função f:
c. .
c.
Sejam
e
. Mostre que:
(2EE-2016.1) Calcule os seguintes limites:
b. .
b.