Equações de cônicas são muito comuns na geometria analítica. Esboce detalhadamente o lugar geométrico das seguintes cônicas no plano real, usando as propriedades de simetria das mesmas e um gráfico definido localmente (isto é, um b. A hipérbole

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício sobre hipérboles na geometria analítica. A gente vai trabalhar com a equação da hipérbole dada por . Para esboçar o gráfico dessa hipérbole, vamos precisar entender as propriedades de simetria dela e como ela se comporta no plano. Vamos por partes para facilitar!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma hipérbole. Uma hipérbole é um tipo de cônica que tem duas “galhas” que se afastam indefinidamente. Ela é definida como o conjunto de pontos cuja diferença das distâncias para dois focos fixos é constante. No caso da equação , essa hipérbole está centralizada na origem do plano cartesiano.

Passo 3

Agora, vamos identificar os elementos principais da hipérbole:
  • Centro: O ponto central da hipérbole é a origem .
  • Eixos: A hipérbole tem dois eixos: o eixo real (horizontal) e o eixo imaginário (vertical).
  • Vértices: São os pontos onde a hipérbole corta o eixo real. Eles estão em .
  • Focos: São pontos dentro das galhas usados para definir a hipérbole. A distância dos focos ao centro é , onde .
  • Assíntotas: São retas que a hipérbole se aproxima, mas nunca toca. As equações das assíntotas são .

Passo 4

Vamos calcular os valores de , e . Se não forem dados valores específicos, vamos trabalhar com eles simbólicos:
  • é a distância do centro aos vértices no eixo real.
  • está relacionado à distância do centro às assíntotas no eixo imaginário.
  • é a distância dos focos ao centro.
Esses valores nos ajudam a desenhar a hipérbole corretamente no gráfico.

Passo 5

Com essas informações, vamos esboçar a hipérbole:
  1. Plotar o Centro: Marque o ponto no plano.
  2. Marcar os Vértices: Coloque pontos em e .
  3. Desenhar os Assíntotas: Trace as retas e . Elas vão servir como guia para as galhas da hipérbole.
  4. Localizar os Focos: Marque os focos em e .
  5. Desenhar as Galhas: A hipérbole terá duas partes, cada uma se aproximando das assíntotas. Use os vértices e as assíntotas para guiar o desenho das curvas.

Passo 6

Lembre-se das simetrias da hipérbole:
  • Simetria em relação ao eixo x: A hipérbole é simétrica em relação ao eixo horizontal.
  • Simetria em relação ao eixo y: No caso desta hipérbole específica, não há simetria em relação ao eixo y, já que a equação tem positivo.
Essas simetrias ajudam a garantir que o esboço esteja correto e balanceado.

Resposta

Pronto! Com todos esses passos, você consegue esboçar a hipérbole no plano real. Lembre-se de marcar o centro, os vértices, os focos e as assíntotas, e usar as simetrias para desenhar as galhas de forma precisa. Assim, você terá um gráfico claro e detalhado dessa hipérbole!

Exercícios relacionados

Idem, considerando as seguintes opções para uma função g:
a. (2EE-2013.2) .
Idem, considerando as seguintes opções para uma função f:
c. .
Sejam e . Mostre que:
(2EE-2016.1) Calcule os seguintes limites:
b. .