(2EE-2016.1) Calcule os seguintes limites:
a. lim x 0 tg(x)+x^2sen(x)+x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: lim x 0 tg(x)+x^2sen(x)+x. Aqui, estamos lidando com o conteúdo de Cálculo de Limites. Para resolver, a gente vai precisar usar algumas propriedades de funções trigonométricas e, possivelmente, a regra de L’Hospital.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o que acontece quando substituímos tg(0) + 0^2 = 0 + 0 = 0 diretamente na função.
No numerador:
sen(0) + 0 = 0 + 0 = 0
No denominador:
Como obtemos a forma indeterminada , podemos aplicar a Regra de L’Hospital, que nos permite derivar o numerador e o denominador separadamente.

Passo 3

Vamos derivar o numerador e o denominador:
Derivada do numerador:
ddx [tg(x) + x^2] = sec^2(x) + 2x
Derivada do denominador:
ddx [sen(x) + x] = cos(x) + 1

Passo 4

Agora, aplicamos a Regra de L’Hospital substituindo as derivadas:
lim x 0 sec^2(x) + 2xcos(x) + 1
Vamos calcular esse limite substituindo sec^2(0) + 2 cdot 0 = 1 + 0 = 1 :
No numerador:
cos(0) + 1 = 1 + 1 = 2
No denominador:

Resposta

Portanto, o limite é:
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