Calcule os seguintes limites:
i. lim x 0^+ x^tg(x^2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: . Esse exercício está dentro da matéria de Cálculo, mais especificamente sobre limites envolvendo funções exponenciais e trigonométricas. Para resolver, vamos precisar entender como lidar com potências onde a base e o expoente estão variando, especialmente quando o expoente envolve uma função trigonométrica como a tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o limite para facilitar o cálculo. Quando temos uma expressão da forma lim x 0^+ x^tan(x^2) = lim x 0^+ e^tan(x^2) cdot ln(x) , podemos usar logaritmos para simplificar. Assim, temos:
Aqui, usamos a propriedade que .

Passo 3

Agora, precisamos calcular o limite do expoente: tan(x^2) approx x^2 quando lim x 0^+ x^2 cdot ln(x) tende a . Sabemos que quando é próximo de zero, então podemos aproximar:
Portanto, o limite fica:

Passo 4

Agora, vamos analisar lim x 0^+ ln(x)x^-2 . Sabemos que lim x 0^+ 1x-2x^-3 = lim x 0^+ 1x cdot x^3-2 = lim x 0^+ x^2-2 = 0 tende a quando tende a , mas tende a . Temos, então, uma forma indeterminada do tipo . Para resolver isso, reescrevemos a expressão como:
Agora, temos uma forma do tipo , que ainda é indeterminada. Aplicamos a Regra de L’Hôpital, que nos permite derivar o numerador e o denominador separadamente:
Derivada do numerador:
Derivada do denominador:
Então, aplicando a regra:

Passo 5

Voltando ao limite original, temos que o expoente tende a e^0 = 1 . Então, a expressão fica:

Resposta

O limite é igual a 1.

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