Calcule os seguintes limites:
i.
.
i.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite:
. Esse exercício está dentro da matéria de Cálculo, mais especificamente sobre limites envolvendo funções exponenciais e trigonométricas. Para resolver, vamos precisar entender como lidar com potências onde a base e o expoente estão variando, especialmente quando o expoente envolve uma função trigonométrica como a tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever o limite para facilitar o cálculo. Quando temos uma expressão da forma
, podemos usar logaritmos para simplificar. Assim, temos:
Aqui, usamos a propriedade que
.
Passo 3
Agora, precisamos calcular o limite do expoente:
quando
tende a
. Sabemos que
quando
é próximo de zero, então podemos aproximar:
Portanto, o limite fica:
Passo 4
Agora, vamos analisar
. Sabemos que
tende a
quando
tende a
, mas
tende a
. Temos, então, uma forma indeterminada do tipo
. Para resolver isso, reescrevemos a expressão como:
Agora, temos uma forma do tipo
, que ainda é indeterminada. Aplicamos a Regra de L’Hôpital, que nos permite derivar o numerador e o denominador separadamente:
Derivada do numerador:
Derivada do denominador:
Então, aplicando a regra:
Passo 5
Voltando ao limite original, temos que o expoente tende a
. Então, a expressão fica:
Resposta
O limite
é igual a 1.