Calcule os seguintes limites:
i. .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: . Esse exercício está dentro da matéria de Cálculo, mais especificamente sobre limites envolvendo funções exponenciais e trigonométricas. Para resolver, vamos precisar entender como lidar com potências onde a base e o expoente estão variando, especialmente quando o expoente envolve uma função trigonométrica como a tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o limite para facilitar o cálculo. Quando temos uma expressão da forma , podemos usar logaritmos para simplificar. Assim, temos:
Aqui, usamos a propriedade que .

Passo 3

Agora, precisamos calcular o limite do expoente: quando tende a . Sabemos que quando é próximo de zero, então podemos aproximar:
Portanto, o limite fica:

Passo 4

Agora, vamos analisar . Sabemos que tende a quando tende a , mas tende a . Temos, então, uma forma indeterminada do tipo . Para resolver isso, reescrevemos a expressão como:
Agora, temos uma forma do tipo , que ainda é indeterminada. Aplicamos a Regra de L’Hôpital, que nos permite derivar o numerador e o denominador separadamente:
Derivada do numerador:
Derivada do denominador:
Então, aplicando a regra:

Passo 5

Voltando ao limite original, temos que o expoente tende a . Então, a expressão fica:

Resposta

O limite é igual a 1.

Exercícios relacionados

Para cada c \in \mathbb{R}, definimos . Chamamos isto de uma família de funções a um parâmetro c. Responda as seguintes perguntas:
a. Para que valores de c a função possui pontos de máximo e de mínimo?
Idem, considerando as seguintes opções para uma função g:
c. (EF-2013.2) .
(2EE-2016.1) Calcule os seguintes limites:
a. .
(1EE-2015.2-Adaptada) Calcule a derivada das seguintes funções:
a.