Esboce à mão o gráfico de f e use seu esboço para encontrar os valores máximos e mínimos locais e absolutos de f (nos domínios indicados):
c.
c.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função
definida por partes em dois intervalos:
O conteúdo que vamos usar aqui inclui funções definidas por partes, gráficos de funções lineares, e análise de máximos e mínimos locais e absolutos. Vamos precisar entender como esboçar o gráfico dessa função e identificar onde ela atinge seus valores máximos e mínimos dentro dos intervalos dados.
Passo 2
Primeiro, vamos esboçar o gráfico da função. Como
é definida por duas expressões lineares, teremos duas retas diferentes nos intervalos especificados.
Para
, a função é
. Essa é uma reta decrescente com inclinação -1 e intercepto em
.
Para
, a função é
. Essa é uma reta crescente com inclinação 2 e intercepto em
, mas consideramos apenas de
a
.
Passo 3
Vamos calcular os valores de
nos pontos de transição e nas extremidades dos intervalos para ajudar no esboço:
- Em
: - Em
(por parte da primeira definição): - Em
(por parte da segunda definição): - Em
:
Notamos que em
, os dois lados da função dão o mesmo valor, então a função é contínua nesse ponto.
Passo 4
Agora, vamos identificar os pontos críticos onde a função pode atingir seus máximos e mínimos:
- No intervalo
, é decrescente, então o máximo local ocorre no início ( ) e o mínimo local no final desse intervalo ( ). - No intervalo
, é crescente, então o mínimo local ocorre no início desse intervalo ( ) e o máximo local no final ( ).
Passo 5
Vamos resumir os valores calculados:
-
: (máximo local) -
: (mínimo local) -
: (máximo local)
Agora, analisando esses valores:
- O menor valor que
atinge é em . - O maior valor que
atinge é em e .
Como esses são os únicos extremos dentro dos intervalos considerados, podemos concluir sobre os valores absolutos também.
Resposta
Os valores máximos absolutos de
são
nos pontos
e
, e o valor mínimo absoluto é
no ponto
.
Exercícios relacionados
(1EE-2015.2-Adaptada) Calcule a derivada das seguintes funções:
a.
a.
(2EE-2016.1) Calcule os seguintes limites:
a. .
a.
Estude a concavidade da função f. Determine ainda os pontos de inflexão (se houver).
g. .
g.
Idem, considerando as seguintes opções para uma função g :
c. .
c.