Para cada c \in \mathbb{R}, definimos
. Chamamos isto de uma família de funções a um parâmetro c. Responda as seguintes perguntas:
a. Para que valores de c a função
possui pontos de máximo e de mínimo?
a. Para que valores de c a função
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma família de funções definida por
, onde
é um parâmetro real. A pergunta é: Para quais valores de
a função
possui pontos de máximo e de mínimo?
Aqui, vamos utilizar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas, para encontrar os pontos críticos da função onde podem ocorrer máximos e mínimos.
Passo 2
Para encontrar os pontos de máximo e mínimo de uma função, precisamos primeiro encontrar sua derivada e depois determinar onde essa derivada é igual a zero. Esses pontos onde a derivada é zero são chamados de pontos críticos.
Vamos calcular a derivada de
:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os valores de
que tornam a derivada igual a zero:
Essa é uma equação quadrática na forma
, onde
,
e
.
Passo 4
Para que a equação quadrática tenha duas soluções reais distintas, o discriminante (
) deve ser positivo. O discriminante é dado por:
Substituindo os valores de
,
e
:
Passo 5
Queremos que o discriminante seja maior que zero para garantir dois pontos críticos distintos:
Dividindo ambos os lados por 4:
Isso significa que:
Passo 6
Resolvendo a desigualdade
:
Simplificando
:
Portanto:
Resposta
A função
possui pontos de máximo e de mínimo para todos os valores de
tais que
ou
.
Exercícios relacionados
Idem, considerando as seguintes opções para uma função g:
c. (EF-2013.2) .
c. (EF-2013.2)
Idem, considerando as seguintes opções para uma função f:
a. .
a.
Calcule os seguintes limites:
i. .
i.
(2EE-2016.1) Calcule os seguintes limites:
a. .
a.