Para cada c \in \mathbb{R}, definimos . Chamamos isto de uma família de funções a um parâmetro c. Responda as seguintes perguntas:
a. Para que valores de c a função possui pontos de máximo e de mínimo?

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma família de funções definida por , onde é um parâmetro real. A pergunta é: Para quais valores de a função possui pontos de máximo e de mínimo?
Aqui, vamos utilizar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas, para encontrar os pontos críticos da função onde podem ocorrer máximos e mínimos.

Passo 2

Para encontrar os pontos de máximo e mínimo de uma função, precisamos primeiro encontrar sua derivada e depois determinar onde essa derivada é igual a zero. Esses pontos onde a derivada é zero são chamados de pontos críticos.
Vamos calcular a derivada de :

Passo 3

Agora, vamos encontrar os valores de que tornam a derivada igual a zero:
Essa é uma equação quadrática na forma , onde , e .

Passo 4

Para que a equação quadrática tenha duas soluções reais distintas, o discriminante ( ) deve ser positivo. O discriminante é dado por:
Substituindo os valores de , e :

Passo 5

Queremos que o discriminante seja maior que zero para garantir dois pontos críticos distintos:
Dividindo ambos os lados por 4:
Isso significa que:

Passo 6

Resolvendo a desigualdade :
Simplificando :
Portanto:

Resposta

A função possui pontos de máximo e de mínimo para todos os valores de tais que ou .

Exercícios relacionados

Idem, considerando as seguintes opções para uma função g:
c. (EF-2013.2) .
Idem, considerando as seguintes opções para uma função f:
a. .
Calcule os seguintes limites:
i. .
(2EE-2016.1) Calcule os seguintes limites:
a. .