Use o resultado do exercício (h) e prove que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar o resultado do exercício (h) para provar que a soma da série
e que
. O conteúdo envolve séries infinitas e um pouco de cálculo avançado. Vamos precisar entender como somar séries e usar algumas técnicas de análise matemática para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a série
. Essa série é conhecida como a série de Basel, e o resultado clássico diz que ela converge para
.
Passo 3
Agora, para provar isso, uma das maneiras é usar a expansão em série de Fourier da função
no intervalo
a
. A ideia é representar a função como uma soma infinita de senos e cossenos e então comparar os coeficientes dessa expansão com os da série que queremos somar.
Passo 4
Ao desenvolver
em série de Fourier, chegamos a uma expressão que relaciona os coeficientes da série com os termos
. Integrando e manipulando a série, conseguimos isolar a soma
e demonstrar que ela realmente é igual a
.
Passo 5
Para a segunda série
, observamos que ela é uma variação alternada da primeira. Usando técnicas semelhantes de séries de Fourier, mas agora considerando a alternância dos sinais, podemos provar que essa soma converge para
.
Resposta
Exercícios relacionados
Escoçar o gráfico e determinar a série de Fourier das seguintes funções:
.
Justifique as seguintes propriedades envolvendo funções periódicas:
Se forem funções periódicas de período
então
e
constante fixada) serão periódicas de período
.
Se
2f
Determinar a série de Fourier indicada para a função dada. Encontrar a função para a qual a série converge e escoçar seu gráfico em um intervalo de três períodos.
;
série de senos, período
.
Determinar a série de Fourier indicada para a função dada. Encontrar a função para a qual a série converge e escoçar seu gráfico em um intervalo de três períodos.
Escoçar o gráfico e determinar a série de Fourier das seguintes funções:
.