Use o resultado do exercício (h) e prove que
pi^26=1+12^2+13^2+14^2+cdots e pi^212=1-12^2+13^2-14^2+cdots

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar o resultado do exercício (h) para provar que a soma da série e que . O conteúdo envolve séries infinitas e um pouco de cálculo avançado. Vamos precisar entender como somar séries e usar algumas técnicas de análise matemática para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a série . Essa série é conhecida como a série de Basel, e o resultado clássico diz que ela converge para .

Passo 3

Agora, para provar isso, uma das maneiras é usar a expansão em série de Fourier da função no intervalo a . A ideia é representar a função como uma soma infinita de senos e cossenos e então comparar os coeficientes dessa expansão com os da série que queremos somar.

Passo 4

Ao desenvolver em série de Fourier, chegamos a uma expressão que relaciona os coeficientes da série com os termos . Integrando e manipulando a série, conseguimos isolar a soma e demonstrar que ela realmente é igual a .

Passo 5

Para a segunda série , observamos que ela é uma variação alternada da primeira. Usando técnicas semelhantes de séries de Fourier, mas agora considerando a alternância dos sinais, podemos provar que essa soma converge para .

Resposta

e .

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