(2ptos) Uma roda-gigante com raio igual a
está girando no sentido anti-horário em torno de um eixo horizontal que passa pelo seu centro. A velocidade linear de uma passageira na sua periferia é igual a
. Determine a intensidade da aceleração da passageira e faça desenhos mostrando a direção e o sentido do vetor aceleração (a) no ponto mais baixo do movimento circular, (b) no ponto mais alto do movimento circular. © Quanto tempo leva para a roda-gigante completar uma revolução? (d) Em um dado momento ao passar pelo ponto mais baixo do movimento circular a rodagigante começa ganhar velocidade com uma taxa de
, encontre a intensidade, a direção e o sentido da aceleração resultante que age sobre a passageira (faça outro desenho).
Passo 1
Vamos resolver um exercício sobre movimento circular aplicado a uma roda-gigante. O enunciado nos dá o raio da roda (14,0 m) e a velocidade linear de uma passageira na periferia (7,0 m/s). Vamos precisar de conceitos de cinemática circular, como aceleração centrípeta, velocidade angular e período de revolução para responder às questões (a) a (d).
Passo 2
Parte (a): Determinar a intensidade da aceleração da passageira no ponto mais baixo do movimento circular.
Primeiro, sabemos que em um movimento circular uniforme, a aceleração centrípeta
é dada por:
Onde:
-
é a velocidade linear (7,0 m/s) -
é o raio da roda (14,0 m)
Substituindo os valores:
A direção da aceleração centrípeta é sempre em direção ao centro da roda. No ponto mais baixo, isso significa que o vetor aceleração aponta verticalmente para cima.
Passo 3
Parte (b): Determinar a intensidade da aceleração da passageira no ponto mais alto do movimento circular.
A aceleração centrípeta continua sendo a mesma, pois depende apenas da velocidade e do raio, que não mudam. Portanto:
No ponto mais alto, a direção da aceleração centrípeta é verticalmente para baixo, apontando para o centro da roda.
Passo 4
Parte ©: Calcular o tempo que a roda-gigante leva para completar uma revolução.
O período
de uma revolução é o tempo que leva para completar 360 graus ou
radianos. Podemos relacionar a velocidade linear
com o período
pela fórmula:
Resolvendo para
:
Aproximando
:
Passo 5
Parte (d): Determinar a intensidade, direção e sentido da aceleração resultante quando a roda começa a ganhar velocidade com uma taxa de
no ponto mais baixo.
Aqui, além da aceleração centrípeta
apontando para cima, há uma aceleração tangencial
devido ao aumento da velocidade.
A aceleração resultante
é a soma vetorial de
e
:
A direção da aceleração resultante forma um ângulo
com a aceleração centrípeta, dado por:
Portanto, a aceleração resultante tem intensidade de aproximadamente
, direcionada a
acima da vertical para cima.
Resposta
(a) A aceleração da passageira no ponto mais baixo é de
verticalmente para cima.
(b) A aceleração da passageira no ponto mais alto é de
verticalmente para baixo.
© O tempo para completar uma revolução é de aproximadamente
.
(d) Quando a roda começa a ganhar velocidade, a aceleração resultante sobre a passageira é de aproximadamente
a
acima da vertical para cima.
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.