d y/d x = P(x) y^2 + Q(x) y + R(x)
é chamada de equação de Riccati generalizada.
(a) Se uma solução - digamos, u(x) - de (3) é conhecida, mostre que a substituição y = u + 1 / v reduz (3) a uma equação linear em v.
(b) Dado que u(x) = x é uma solução para
d y/d x = x^3 (y - x)^2 + y/x
use o resultado do item (a) para encontrar todas as outras soluções desta equação. (A solução em particular u(x) = x pode ser encontrada por inspeção ou usando o método da série de Taylor; ver seção 8.1 do livro-texto.)

Passo 1

Então, vamos lá! O exercício que você me enviou é sobre Equações de Riccati, que são um tipo especial de equações diferenciais. A parte (a) nos pede para mostrar que, se conhecemos uma solução específica da equação de Riccati, podemos fazer uma substituição que transforma a equação original em uma equação linear mais simples para uma nova função . Na parte (b), usamos essa ideia para encontrar todas as soluções da equação dada quando sabemos que é uma solução. Para resolver isso, vamos precisar entender como trabalhar com substituições em equações diferenciais e como transformar equações de Riccati em equações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a equação de Riccati generalizada:
Sabemos que se conhecemos uma solução particular , podemos fazer a substituição para simplificar a equação. Vamos ver como isso funciona.

Passo 3

Vamos substituir por na equação original:
Agora, precisamos calcular a derivada do lado esquerdo e expandir o lado direito.

Passo 4

Calculando a derivada do lado esquerdo:
Expandindo o lado direito:

Passo 5

Agora, juntamos as duas partes:
Simplificamos essa equação rearranjando os termos:

Passo 6

Como é uma solução particular da equação original, ela satisfaz:
Substituindo isso na equação, temos:

Passo 7

Multiplicando ambos os lados por para simplificar:
Essa é agora uma equação linear em :

Passo 8

Assim, mostramos que a substituição transforma a equação de Riccati original em uma equação linear para . Resolver uma equação linear é geralmente mais fácil do que resolver a equação de Riccati diretamente.

Passo 9

Agora, vamos para a parte (b). Temos a equação:
E sabemos que é uma solução particular dessa equação. Vamos usar a substituição que encontramos na parte (a) para encontrar todas as outras soluções.

Passo 10

Primeiro, identificamos , (pois não há termo linear além de no quadrado), e .
Fazendo a substituição , e usando a equação linear para que encontramos:
Substituindo os valores:
Simplificando:

Passo 11

Essa é uma equação linear do tipo , onde:
Para resolver, usamos o fator integrante :

Passo 12

Multiplicando toda a equação pelo fator integrante:
O lado esquerdo agora é a derivada do produto :

Passo 13

Integrando ambos os lados:
Fazendo a substituição , , ajustamos a integral:

Passo 14

Portanto:
Dividindo ambos os lados por :

Passo 15

Lembrando que , substituímos :
Podemos simplificar multiplicando numerador e denominador por -2:

Resposta

Todas as soluções da equação dada são:
onde é uma constante de integração.

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