é chamada de equação de Riccati generalizada.
(a) Se uma solução - digamos,
- de (3) é conhecida, mostre que a substituição
reduz (3) a uma equação linear em
.
(b) Dado que
é uma solução para
use o resultado do item (a) para encontrar todas as outras soluções desta equação. (A solução em particular
pode ser encontrada por inspeção ou usando o método da série de Taylor; ver seção 8.1 do livro-texto.)
(a) Se uma solução - digamos,
(b) Dado que
Passo 1
Então, vamos lá! O exercício que você me enviou é sobre Equações de Riccati, que são um tipo especial de equações diferenciais. A parte (a) nos pede para mostrar que, se conhecemos uma solução específica
da equação de Riccati, podemos fazer uma substituição que transforma a equação original em uma equação linear mais simples para uma nova função
. Na parte (b), usamos essa ideia para encontrar todas as soluções da equação dada quando sabemos que
é uma solução. Para resolver isso, vamos precisar entender como trabalhar com substituições em equações diferenciais e como transformar equações de Riccati em equações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a equação de Riccati generalizada:
Sabemos que se conhecemos uma solução particular
, podemos fazer a substituição
para simplificar a equação. Vamos ver como isso funciona.
Passo 3
Vamos substituir
por
na equação original:
Agora, precisamos calcular a derivada do lado esquerdo e expandir o lado direito.
Passo 4
Calculando a derivada do lado esquerdo:
Expandindo o lado direito:
Passo 5
Agora, juntamos as duas partes:
Simplificamos essa equação rearranjando os termos:
Passo 6
Como
é uma solução particular da equação original, ela satisfaz:
Substituindo isso na equação, temos:
Passo 7
Multiplicando ambos os lados por
para simplificar:
Essa é agora uma equação linear em
:
Passo 8
Assim, mostramos que a substituição
transforma a equação de Riccati original em uma equação linear para
. Resolver uma equação linear é geralmente mais fácil do que resolver a equação de Riccati diretamente.
Passo 9
Agora, vamos para a parte (b). Temos a equação:
E sabemos que
é uma solução particular dessa equação. Vamos usar a substituição que encontramos na parte (a) para encontrar todas as outras soluções.
Passo 10
Primeiro, identificamos
,
(pois não há termo linear além de
no quadrado), e
.
Fazendo a substituição
, e usando a equação linear para
que encontramos:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Passo 11
Essa é uma equação linear do tipo
, onde:
Para resolver, usamos o fator integrante
:
Passo 12
Multiplicando toda a equação pelo fator integrante:
O lado esquerdo agora é a derivada do produto
:
Passo 13
Integrando ambos os lados:
Fazendo a substituição
,
, ajustamos a integral:
Passo 14
Portanto:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 15
Lembrando que
, substituímos
:
Podemos simplificar multiplicando numerador e denominador por -2:
Resposta
Todas as soluções da equação dada são:
onde
é uma constante de integração.
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Verifique que, para a funçio de produção de Cobb-Douglas
discutida no Exemplo 3, a produçĩo dobrará se as quantidades de trabalho e a de capital investido forem dobradas. Determine se isto também é verdade para uma funçăo de produçĩo genérica
(a) Mostre que essa equação não é exata.
(b) Mostre que multiplicar os dois lados da equação por gera uma nova equação que é exata.
© Use a solução da equação exata resultante para solucionar a equação original.
(d) Algumas soluções foram perdidas no processo?
(b) Mostre que multiplicar os dois lados da equação por
© Use a solução da equação exata resultante para solucionar a equação original.
(d) Algumas soluções foram perdidas no processo?
Calcule a massa do fio
,
, com densidade linear
.
Esboce o traço das curvas parametrizadas por
(a) .
(a)