Calcule a massa do fio gamma(t) = cos(t), sen(t), 0 <= t <= pi, com densidade linear delta(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2.

Passo 1

Beleza, vamos calcular a massa de um fio cuja curva é dada por no intervalo . O conteúdo que vamos usar é o Cálculo de Massa de Fio com densidade linear. Para resolver isso, vamos precisar entender como integrar a densidade ao longo da curva.

Passo 2

Primeiro, lembremos que a massa M de um fio parametrizado por gamma(t) com densidade linear delta(x, y, z) é dada pela integral:
Aqui, é o módulo da derivada da parametrização, que representa um elemento de comprimento ao longo do fio.

Passo 3

Vamos encontrar a derivada de gamma(t). A função dada é:
Derivando cada componente em relação a :

Passo 4

Agora, calculamos o módulo de :
Sabemos que , então:

Passo 5

Vamos substituir a densidade na parametrização gamma(t):
Novamente, , então:

Passo 6

Agora, substituímos e na fórmula da massa:

Passo 7

Vamos calcular a integral:
Aplicando os limites de 0 a pi:

Passo 8

Multiplicando pelo raiz(2) que estava fora da integral:

Resposta

A massa do fio é .

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