Calcule a massa do fio
,
, com densidade linear
.
Passo 1
Beleza, vamos calcular a massa de um fio cuja curva é dada por no intervalo
. O conteúdo que vamos usar é o Cálculo de Massa de Fio com densidade linear. Para resolver isso, vamos precisar entender como integrar a densidade ao longo da curva.
Passo 2
Primeiro, lembremos que a massa
de um fio parametrizado por
com densidade linear
é dada pela integral:
Aqui,
é o módulo da derivada da parametrização, que representa um elemento de comprimento ao longo do fio.
Passo 3
Vamos encontrar a derivada de
. A função dada é:
Derivando cada componente em relação a
:
Passo 4
Agora, calculamos o módulo de
:
Sabemos que , então:
Passo 5
Vamos substituir a densidade
na parametrização
:
Novamente, , então:
Passo 6
Agora, substituímos
e
na fórmula da massa:
Passo 7
Vamos calcular a integral:
Aplicando os limites de
a
:
Passo 8
Multiplicando pelo
que estava fora da integral:
Resposta
A massa do fio é
.
Exercícios relacionados
é chamada de equação de Riccati generalizada.
(a) Se uma solução - digamos, - de (3) é conhecida, mostre que a substituição
reduz (3) a uma equação linear em
.
(b) Dado que é uma solução para
(a) Se uma solução - digamos,
(b) Dado que
use o resultado do item (a) para encontrar todas as outras soluções desta equação. (A solução em particular
pode ser encontrada por inspeção ou usando o método da série de Taylor; ver seção 8.1 do livro-texto.)
Verifique que, para a funçio de produção de Cobb-Douglas
discutida no Exemplo 3, a produçĩo dobrará se as quantidades de trabalho e a de capital investido forem dobradas. Determine se isto também é verdade para uma funçăo de produçĩo genérica
Esboce o traço das curvas parametrizadas por
(a) .
(a)
Identifique e faça um esboço do traço das seguintes curvas:
(a) .
(a)