Calcule a massa do fio
,
, com densidade linear
.
Passo 1
Beleza, vamos calcular a massa de um fio cuja curva é dada por no intervalo
. O conteúdo que vamos usar é o Cálculo de Massa de Fio com densidade linear. Para resolver isso, vamos precisar entender como integrar a densidade ao longo da curva.
Passo 2
Primeiro, lembremos que a massa
de um fio parametrizado por
com densidade linear
é dada pela integral:
Aqui,
é o módulo da derivada da parametrização, que representa um elemento de comprimento ao longo do fio.
Passo 3
Vamos encontrar a derivada de
. A função dada é:
Derivando cada componente em relação a
:
Passo 4
Agora, calculamos o módulo de
:
Sabemos que , então:
Passo 5
Vamos substituir a densidade
na parametrização
:
Novamente, , então:
Passo 6
Agora, substituímos
e
na fórmula da massa:
Passo 7
Vamos calcular a integral:
Aplicando os limites de
a
:
Passo 8
Multiplicando pelo
que estava fora da integral:
Resposta
A massa do fio é
.