Esboce o traço das curvas parametrizadas por
(a)
.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para esboçarmos o traço da curva parametrizada por
, onde
varia de
a
. Isso está relacionado ao conteúdo de curvas parametrizadas na matemática, especificamente em geometria analítica. Para resolver isso, vamos precisar entender como transformar a parametrização em uma equação mais familiar e então traçar a curva correspondente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma curva parametrizada. Quando temos uma função
, estamos descrevendo uma curva no plano cartesiano onde
e
são expressas em função de um terceiro parâmetro, neste caso,
.
Passo 3
No nosso exercício, temos
. Isso significa que:
Aqui,
é igual a
e
é igual ao quadrado de
.
Passo 4
Para esboçarmos a curva, vamos eliminar o parâmetro
e encontrar uma relação direta entre
e
. Já que
, podemos substituir
por
na segunda equação:
Agora, temos a equação
, que é a equação de uma parábola que abre para cima.
Passo 5
Sabendo que
varia de
a
, isso significa que
também varia de
a
. Vamos analisar alguns pontos para desenhar a parábola neste intervalo:
-
Para
: -
Para
: -
Para
: -
Para
:
Passo 6
Agora, plotando esses pontos no plano cartesiano:
,
,
, e
, e ligando-os de forma suave, veremos a forma da parábola
restrita a
.
Passo 7
Então, o esboço da curva será uma parte da parábola
que começa no ponto
, desce até o vértice
e sobe novamente até o ponto
.
Resposta
O traço da curva parametrizada
para
é uma parábola que começa no ponto
, passa pelo vértice
e termina no ponto
. O esboço dessa curva é a parte da parábola
compreendida entre
e
.
Exercícios relacionados
Calcule a massa do fio
,
, com densidade linear
.
é chamada de equação de Riccati generalizada.
(a) Se uma solução - digamos, - de (3) é conhecida, mostre que a substituição
reduz (3) a uma equação linear em
.
(b) Dado que é uma solução para
(a) Se uma solução - digamos,
(b) Dado que
use o resultado do item (a) para encontrar todas as outras soluções desta equação. (A solução em particular
pode ser encontrada por inspeção ou usando o método da série de Taylor; ver seção 8.1 do livro-texto.)
Identifique e faça um esboço do traço das seguintes curvas:
(a) .
(a)
Encontre uma parametrização para a curva dada pela interseção das superfícies:
(a) .
(a)