Esboce o traço das curvas parametrizadas por
(a) γ(t) = (t, t^2), t ∈ [-2, 1].

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para esboçarmos o traço da curva parametrizada por , onde varia de a . Isso está relacionado ao conteúdo de curvas parametrizadas na matemática, especificamente em geometria analítica. Para resolver isso, vamos precisar entender como transformar a parametrização em uma equação mais familiar e então traçar a curva correspondente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma curva parametrizada. Quando temos uma função , estamos descrevendo uma curva no plano cartesiano onde e são expressas em função de um terceiro parâmetro, neste caso, .

Passo 3

No nosso exercício, temos . Isso significa que:
Aqui, é igual a e é igual ao quadrado de .

Passo 4

Para esboçarmos a curva, vamos eliminar o parâmetro e encontrar uma relação direta entre e . Já que , podemos substituir por na segunda equação:
Agora, temos a equação , que é a equação de uma parábola que abre para cima.

Passo 5

Sabendo que varia de a , isso significa que também varia de a . Vamos analisar alguns pontos para desenhar a parábola neste intervalo:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 6

Agora, plotando esses pontos no plano cartesiano: , , , e , e ligando-os de forma suave, veremos a forma da parábola restrita a .

Passo 7

Então, o esboço da curva será uma parte da parábola que começa no ponto , desce até o vértice e sobe novamente até o ponto .

Resposta

O traço da curva parametrizada para é uma parábola que começa no ponto , passa pelo vértice e termina no ponto . O esboço dessa curva é a parte da parábola compreendida entre e .

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