Esboce o traço das curvas parametrizadas por
(a) .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para esboçarmos o traço da curva parametrizada por , onde varia de a . Isso está relacionado ao conteúdo de curvas parametrizadas na matemática, especificamente em geometria analítica. Para resolver isso, vamos precisar entender como transformar a parametrização em uma equação mais familiar e então traçar a curva correspondente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma curva parametrizada. Quando temos uma função , estamos descrevendo uma curva no plano cartesiano onde e são expressas em função de um terceiro parâmetro, neste caso, .

Passo 3

No nosso exercício, temos . Isso significa que:
Aqui, é igual a e é igual ao quadrado de .

Passo 4

Para esboçarmos a curva, vamos eliminar o parâmetro e encontrar uma relação direta entre e . Já que , podemos substituir por na segunda equação:
Agora, temos a equação , que é a equação de uma parábola que abre para cima.

Passo 5

Sabendo que varia de a , isso significa que também varia de a . Vamos analisar alguns pontos para desenhar a parábola neste intervalo:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 6

Agora, plotando esses pontos no plano cartesiano: , , , e , e ligando-os de forma suave, veremos a forma da parábola restrita a .

Passo 7

Então, o esboço da curva será uma parte da parábola que começa no ponto , desce até o vértice e sobe novamente até o ponto .

Resposta

O traço da curva parametrizada para é uma parábola que começa no ponto , passa pelo vértice e termina no ponto . O esboço dessa curva é a parte da parábola compreendida entre e .

Exercícios relacionados

Calcule a massa do fio , , com densidade linear .
é chamada de equação de Riccati generalizada.
(a) Se uma solução - digamos, - de (3) é conhecida, mostre que a substituição reduz (3) a uma equação linear em .
(b) Dado que é uma solução para
use o resultado do item (a) para encontrar todas as outras soluções desta equação. (A solução em particular pode ser encontrada por inspeção ou usando o método da série de Taylor; ver seção 8.1 do livro-texto.)
Identifique e faça um esboço do traço das seguintes curvas:
(a) .
Encontre uma parametrização para a curva dada pela interseção das superfícies:
(a) .