(a) Mostre que essa equação não é exata.
(b) Mostre que multiplicar os dois lados da equação por
gera uma nova equação que é exata.
© Use a solução da equação exata resultante para solucionar a equação original.
(d) Algumas soluções foram perdidas no processo?
(b) Mostre que multiplicar os dois lados da equação por
© Use a solução da equação exata resultante para solucionar a equação original.
(d) Algumas soluções foram perdidas no processo?
Passo 1
Vamos dar uma olhada na questão que temos aqui. A equação diferencial que precisamos analisar é:
O conteúdo principal aqui é Equações Diferenciais Exatas. Para resolver esta questão, vamos precisar entender o que torna uma equação exata e como podemos manipulá-la para encontrarmos soluções.
Passo 2
Parte (a): Mostrar que a equação não é exata.
Primeiro, vamos entender o que significa uma equação ser exata. Uma equação diferencial na forma:
é exata se a derivada parcial de
em relação a
for igual à derivada parcial de
em relação a
:
No nosso caso, temos:
Vamos calcular as derivadas parciais:
Claramente,
. Portanto, a equação não é exata.
Passo 3
Parte (b): Mostrar que multiplicar ambos os lados da equação por
gera uma nova equação que é exata.
Vamos multiplicar a equação original por
:
Distribuindo
:
Simplificando:
Agora, definimos:
Vamos verificar se a nova equação é exata, calculando as derivadas parciais:
Como
, a nova equação é exata.
Passo 4
Parte ©: Usar a solução da equação exata resultante para solucionar a equação original.
Agora que temos uma equação exata, podemos encontrar uma função
tal que:
Vamos integrar
em relação a
:
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Isso implica que
, então
é uma constante, que podemos chamar de
.
Portanto, a solução geral da equação exata é:
Resolvendo para
:
Isso pode ser reescrito como:
Ou, de forma isolada para
:
Passo 5
Parte (d): Algumas soluções foram perdidas no processo?
Sim, algumas soluções podem ter sido perdidas durante o processo de multiplicação por
. Quando multiplicamos a equação original por
, estamos assumindo que
. Portanto, soluções onde
não estão incluídas na solução obtida. Além disso, qualquer solução que faça com que
seja indefinido também não será capturada.
Resposta
Seguindo os passos acima, concluímos que a solução geral da equação diferencial original é:
onde
é uma constante real.