(y^2 + 2xy) dx - x^2 dy = 0
(a) Mostre que essa equação não é exata.
(b) Mostre que multiplicar os dois lados da equação por y^-2 gera uma nova equação que é exata.
© Use a solução da equação exata resultante para solucionar a equação original.
(d) Algumas soluções foram perdidas no processo?

Passo 1

Vamos dar uma olhada na questão que temos aqui. A equação diferencial que precisamos analisar é:
O conteúdo principal aqui é Equações Diferenciais Exatas. Para resolver esta questão, vamos precisar entender o que torna uma equação exata e como podemos manipulá-la para encontrarmos soluções.

Passo 2

Parte (a): Mostrar que a equação não é exata.
Primeiro, vamos entender o que significa uma equação ser exata. Uma equação diferencial na forma:
é exata se a derivada parcial de em relação a for igual à derivada parcial de em relação a :
No nosso caso, temos:
Vamos calcular as derivadas parciais:
Claramente, . Portanto, a equação não é exata.

Passo 3

Parte (b): Mostrar que multiplicar ambos os lados da equação por gera uma nova equação que é exata.
Vamos multiplicar a equação original por :
Distribuindo :
Simplificando:
Agora, definimos:
Vamos verificar se a nova equação é exata, calculando as derivadas parciais:
Como , a nova equação é exata.

Passo 4

Parte ©: Usar a solução da equação exata resultante para solucionar a equação original.
Agora que temos uma equação exata, podemos encontrar uma função tal que:
Vamos integrar em relação a :
Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Isso implica que , então é uma constante, que podemos chamar de .
Portanto, a solução geral da equação exata é:
Resolvendo para :
Isso pode ser reescrito como:
Ou, de forma isolada para :

Passo 5

Parte (d): Algumas soluções foram perdidas no processo?
Sim, algumas soluções podem ter sido perdidas durante o processo de multiplicação por . Quando multiplicamos a equação original por , estamos assumindo que . Portanto, soluções onde não estão incluídas na solução obtida. Além disso, qualquer solução que faça com que seja indefinido também não será capturada.

Resposta

Seguindo os passos acima, concluímos que a solução geral da equação diferencial original é:
onde é uma constante real.

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