Verifique que, para a funçio de produção de Cobb-Douglas
discutida no Exemplo 3, a produçĩo dobrará se as quantidades de trabalho e a de capital investido forem dobradas. Determine se isto também é verdade para uma funçăo de produçĩo genérica
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função de produção de Cobb-Douglas dada por:
A questão quer que a gente verifique se, ao dobrar as quantidades de trabalho
e capital
, a produção
também dobra. Depois, vamos ver se isso vale para uma função de produção genérica:
Para resolver isso, vamos precisar entender como as funções de produção de Cobb-Douglas funcionam e aplicar algumas propriedades matemáticas básicas.
Passo 2
Vamos começar verificando o caso específico da função:
Queremos saber o que acontece com
se dobrarmos
e
. Ou seja, queremos calcular
.
Passo 3
Substituindo
por
e
por
na função:
Passo 4
Agora, vamos simplificar os termos com potências. Lembrando que
:
Passo 5
Somando os expoentes de 2:
Então,
Passo 6
Calculando
:
Portanto,
Passo 7
Comparando com a produção original
, vemos que ao dobrar
e
, a produção aumenta para aproximadamente
vezes a original, ou seja, mais do que o dobro.
Passo 8
Agora, vamos analisar a função de produção genérica:
Queremos verificar se ao dobrar
e
, a produção também dobra. Vamos calcular
:
Passo 9
Para que a produção dobre, precisamos que:
Isso acontece quando o expoente de 2 é igual a 1:
Passo 10
Resolvendo a equação:
Passo 11
Então, para a produção dobrar ao dobrar
e
na função genérica
, é necessário que:
Isso significa que a soma dos expoentes de
e
deve ser igual a 1, ou seja, a função deve ter retornos constantes de escala.
Resposta
Ao dobrar as quantidades de trabalho
e capital
, a produção
dobra apenas se os expoentes de
e
satisfyarem que
na função genérica
. No caso específico da função
, a produção aumenta em aproximadamente 2,09 vezes, ou seja, mais do que o dobro.
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,
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.