Verifique que, para a funçio de produção de Cobb-Douglas
discutida no Exemplo 3, a produçĩo dobrará se as quantidades de trabalho e a de capital investido forem dobradas. Determine se isto também é verdade para uma funçăo de produçĩo genérica

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função de produção de Cobb-Douglas dada por:
A questão quer que a gente verifique se, ao dobrar as quantidades de trabalho e capital , a produção também dobra. Depois, vamos ver se isso vale para uma função de produção genérica:
Para resolver isso, vamos precisar entender como as funções de produção de Cobb-Douglas funcionam e aplicar algumas propriedades matemáticas básicas.

Passo 2

Vamos começar verificando o caso específico da função:
Queremos saber o que acontece com se dobrarmos e . Ou seja, queremos calcular .

Passo 3

Substituindo por e por na função:

Passo 4

Agora, vamos simplificar os termos com potências. Lembrando que :

Passo 5

Somando os expoentes de 2:
Então,

Passo 6

Calculando :
Portanto,

Passo 7

Comparando com a produção original , vemos que ao dobrar e , a produção aumenta para aproximadamente vezes a original, ou seja, mais do que o dobro.

Passo 8

Agora, vamos analisar a função de produção genérica:
Queremos verificar se ao dobrar e , a produção também dobra. Vamos calcular :

Passo 9

Para que a produção dobre, precisamos que:
Isso acontece quando o expoente de 2 é igual a 1:

Passo 10

Resolvendo a equação:

Passo 11

Então, para a produção dobrar ao dobrar e na função genérica , é necessário que:
Isso significa que a soma dos expoentes de e deve ser igual a 1, ou seja, a função deve ter retornos constantes de escala.

Resposta

Ao dobrar as quantidades de trabalho e capital , a produção dobra apenas se os expoentes de e satisfyarem que na função genérica . No caso específico da função , a produção aumenta em aproximadamente 2,09 vezes, ou seja, mais do que o dobro.

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