onde
é a velocidade da luz e
sua massa. Se a velocidade
da partícula é muito pequena se comparada a
, i.e.,
, podemos linearizar a expressão da energia e identificar que as primeira contribuições a
são a energia de repouso
e a energia cinética newtoniana
. Usando esse fato, determine
para
. (Sugestão: faça
linearize a função
através da expressão
substituindo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos pede para simplificar a expressão da energia
quando a velocidade
da partícula é muito menor que a velocidade da luz
(ou seja,
). O objetivo é encontrar uma forma simplificada dessa energia que inclua a energia de repouso
e a energia cinética newtoniana
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Isso indica que a velocidade da partícula é muito menor comparada à velocidade da luz, então
é um número bem pequeno, próximo de zero.
Passo 3
A expressão da energia é:
Queremos simplificar essa expressão para
. Para isso, vamos definir uma nova variável
.
Passo 4
Com
, nossa função fica:
Como
é muito pequeno, podemos “linearizar” essa função, ou seja, aproximá-la usando uma expansão em série de Taylor em torno de
.
Passo 5
A expansão de Taylor de
perto de
é:
Vamos calcular
e
:
-
- Para
, derivamos em relação a :
Então,
Passo 6
Substituindo
e
na aproximação:
Lembrando que
, então:
Passo 7
Agora, voltando à expressão original da energia:
Simplificando:
Resposta
Para
, a energia da partícula é aproximadamente:
Exercícios relacionados
Seja o campo vetorial
© Calclule
onde
Seja
. Determine
(a)
(a)
Determine se a série dada é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
Utilize o Teorema da comparação para séries e decida se a série dada é convergente ou divergente.