E(v^2) = (m * c^2) / raiz(1 - v^2 / c^2)
onde c é a velocidade da luz e m sua massa. Se a velocidade v da partícula é muito pequena se comparada a c, i.e., v^2 << c^2, podemos linearizar a expressão da energia e identificar que as primeira contribuições a E(v^2) são a energia de repouso E0 e a energia cinética newtoniana E_cin(v^2). Usando esse fato, determine E(v^2) para v^2 << c^2. (Sugestão: faça x = v^2 / c^2 e linearize a função f(x) = 1 / raiz(1 - x) através da expressão f(x) aproximadamente f(0) + f'(0) Delta x substituindo Delta x = x = v^2 / c^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos pede para simplificar a expressão da energia quando a velocidade da partícula é muito menor que a velocidade da luz (ou seja, ). O objetivo é encontrar uma forma simplificada dessa energia que inclua a energia de repouso e a energia cinética newtoniana .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Isso indica que a velocidade da partícula é muito menor comparada à velocidade da luz, então é um número bem pequeno, próximo de zero.

Passo 3

A expressão da energia é:
Queremos simplificar essa expressão para . Para isso, vamos definir uma nova variável .

Passo 4

Com , nossa função fica:
Como é muito pequeno, podemos “linearizar” essa função, ou seja, aproximá-la usando uma expansão em série de Taylor em torno de .

Passo 5

A expansão de Taylor de perto de é:
Vamos calcular e :
  • Para , derivamos em relação a :
Então,

Passo 6

Substituindo e na aproximação:
Lembrando que , então:

Passo 7

Agora, voltando à expressão original da energia:
Simplificando:

Resposta

Para , a energia da partícula é aproximadamente:

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Seja o campo vetorial
F=(2 x sin z) i+(z^3-epsilon^y) j+(x^2 cos z+3 y z^2) k
© Calclule integralA^B F cdot d r onde A(0,0,0), B(1,1, pi) C pi+1
Seja f(x, y) = x + raiz_cubica(x * y). Determine
(a) f(t, t^2)
Determine se a série dada é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
sumn=1^infty(12^n-1+23^n-1)
Utilize o Teorema da comparação para séries e decida se a série dada é convergente ou divergente.
sumn=1^infty 32 n^2+5 n+1