Utilize o Teorema da comparação para séries e decida se a série dada é convergente ou divergente.
sumn=1^infty 32 n^2+5 n+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma série infinita e precisa usar o Teorema da Comparação para Séries para descobrir se ela converge ou diverge. A série que vamos analisar é:
sumn=1^infty 32n^2+5n+1
Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries p e como comparar termos de séries diferentes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma série p. É uma série da forma:
sumn=1^infty 1n^p
Sabemos que essa série converge se o expoente e diverge se . Nosso objetivo é comparar a nossa série com uma série p apropriada.

Passo 3

Olhemos para o termo geral da nossa série:
32n^2 + 5n + 1
Quando 2n^2 fica grande, os termos de maior grau dominam. Então, podemos simplificar o denominador para:
32n^2
Assim, o termo fica aproximadamente:
Isso nos dá uma pista para escolher uma série p para comparar.

Passo 4

Vamos comparar nossa série com a série p onde sumn=1^infty 1n^2 :
Sabemos que essa série converge, porque .

Passo 5

Agora, precisamos mostrar que:
32n^2 + 5n + 1 <= 32n^2
Para , o denominador . Assim, a fração é menor ou igual a .

Passo 6

Como comparamos com uma série convergente e mostramos que os termos da nossa série são menores ou iguais aos termos da série comparadora, pelo Teorema da Comparação, nossa série também converge.

Resposta

A série
sumn=1^infty 32n^2+5n+1
converge pelo Teorema da Comparação para Séries.

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