Utilize o Teorema da comparação para séries e decida se a série dada é convergente ou divergente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma série infinita e precisa usar o Teorema da Comparação para Séries para descobrir se ela converge ou diverge. A série que vamos analisar é:
Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries p e como comparar termos de séries diferentes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma série p. É uma série da forma:
Sabemos que essa série converge se o expoente
e diverge se
. Nosso objetivo é comparar a nossa série com uma série p apropriada.
Passo 3
Olhemos para o termo geral da nossa série:
Quando
fica grande, os termos de maior grau dominam. Então, podemos simplificar o denominador para:
Assim, o termo fica aproximadamente:
Isso nos dá uma pista para escolher uma série p para comparar.
Passo 4
Vamos comparar nossa série com a série p onde
:
Sabemos que essa série converge, porque
.
Passo 5
Agora, precisamos mostrar que:
Para
, o denominador
. Assim, a fração é menor ou igual a
.
Passo 6
Como comparamos com uma série convergente e mostramos que os termos da nossa série são menores ou iguais aos termos da série comparadora, pelo Teorema da Comparação, nossa série também converge.
Resposta
A série
converge pelo Teorema da Comparação para Séries.