Determine se a série dada é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
sumn=1^infty(12^n-1+23^n-1)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita e precisamos determinar se ela converge (ou seja, se a soma dos termos se aproxima de um número específico) ou diverge (não se aproxima de nenhum número). Se ela convergir, também vamos calcular qual é essa soma.
A série que nos foi dada é:
sumn=1^infty(12^n-1+23^n-1)
Para resolver isso, vamos precisar entender sobre séries geométricas, que são séries onde cada termo é uma constante multiplicada por uma razão elevada a uma potência que depende de .

Passo 2

Vamos separar a série original em duas séries individuais para facilitar a análise:
sumn=1^infty12^n-1 e sumn=1^infty23^n-1
Isso funciona porque a soma de duas séries convergentes também converge, e a soma delas será a soma das duas somas individuais.

Passo 3

Agora, vamos analisar a primeira série:
sumn=1^infty12^n-1
Podemos reescrever essa série como:
sumn=1^infty(12)^n-1
Essa é uma série geométrica onde o primeiro termo e a razão comum .

Passo 4

Para uma série geométrica 11 - 12 = 112 = 2 , sabemos que ela converge se , e a soma converge para .
No nosso caso, , então a série converge e sua soma é:

Passo 5

Agora, vamos analisar a segunda série:
sumn=1^infty23^n-1
Podemos reescrever essa série como:
sumn=1^infty2(13)^n-1
Essa também é uma série geométrica, onde o primeiro termo e a razão comum .

Passo 6

Aplicando a mesma regra da série geométrica, como 21 - 13 = 223 = 3 , a série converge. A soma é:

Resposta

Como ambas as séries convergem, a soma total da série original é a soma das duas somas individuais:
2 + 3 = 5
Portanto, a série dada converge e sua soma é 5.

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