Determine se a série dada é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita e precisamos determinar se ela converge (ou seja, se a soma dos termos se aproxima de um número específico) ou diverge (não se aproxima de nenhum número). Se ela convergir, também vamos calcular qual é essa soma.
A série que nos foi dada é:
Para resolver isso, vamos precisar entender sobre séries geométricas, que são séries onde cada termo é uma constante multiplicada por uma razão elevada a uma potência que depende de .
Passo 2
Vamos separar a série original em duas séries individuais para facilitar a análise:
Isso funciona porque a soma de duas séries convergentes também converge, e a soma delas será a soma das duas somas individuais.
Passo 3
Agora, vamos analisar a primeira série:
Podemos reescrever essa série como:
Essa é uma série geométrica onde o primeiro termo e a razão comum .
Passo 4
Para uma série geométrica , sabemos que ela converge se , e a soma converge para .
No nosso caso, , então a série converge e sua soma é:
Passo 5
Agora, vamos analisar a segunda série:
sumn=1^infty23^n-1
Podemos reescrever essa série como:
sumn=1^infty2(13)^n-1
Essa também é uma série geométrica, onde o primeiro termo e a razão comum .
Passo 6
Aplicando a mesma regra da série geométrica, como 21 - 13 = 223 = 3 , a série converge. A soma é:
Resposta
Como ambas as séries convergem, a soma total da série original é a soma das duas somas individuais: