Seja o campo vetorial
© Calclule
onde
Passo 1
Então, a gente tem um exercício onde precisamos calcular a integral de linha de um campo vetorial
entre dois pontos,
e
. O conteúdo que vamos precisar aqui envolve cálculo de integrais de linha em campos vetoriais. Para resolver isso, vamos verificar se o campo é campo conservativo, ou seja, se existe uma função potencial que nos permite simplificar o cálculo da integral.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o campo vetorial
é conservativo. Um campo é conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de alguma função escalar
, ou seja:
Para isso, precisamos checar se as derivadas parciais cruzadas são iguais. Vamos considerar os componentes de
:
Calculamos as derivadas parciais:
Como todas as derivadas cruzadas são iguais, o campo é conservativo.
Passo 3
Agora que sabemos que
é conservativo, vamos encontrar a função potencial
tal que:
Igualando os componentes, temos:
Vamos integrar cada uma dessas equações para encontrar
.
Integrando
em relação a
:
Agora, derivamos
em relação a
:
Integrando em relação a
:
Então,
fica:
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Comparando, vemos que
, então
é uma constante, que podemos considerar zero. Portanto, a função potencial é:
Passo 4
Com a função potencial
encontrada, podemos usar o Teorema Fundamental do Cálculo para Integrais de Linha, que diz:
Isso significa que só precisamos calcular
nos pontos
e
e fazer a diferença.
Passo 5
Vamos calcular
em
e em
:
Para
:
(Lembrando que
)
Para
:
Resposta
A integral de linha
é: