Seja o campo vetorial
F=(2 x sin z) i+(z^3-epsilon^y) j+(x^2 cos z+3 y z^2) k
© Calclule integralA^B F cdot d r onde A(0,0,0), B(1,1, pi) C pi+1

Passo 1

Então, a gente tem um exercício onde precisamos calcular a integral de linha de um campo vetorial entre dois pontos, e . O conteúdo que vamos precisar aqui envolve cálculo de integrais de linha em campos vetoriais. Para resolver isso, vamos verificar se o campo é campo conservativo, ou seja, se existe uma função potencial que nos permite simplificar o cálculo da integral.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o campo vetorial F = nabla phi é conservativo. Um campo é conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de alguma função escalar F = (2x sin z) i + (z^3 - e^y) j + (x^2 cos z + 3y z^2) k , ou seja:
partial Fxpartial y = 0, partial Fypartial x = 0
Para isso, precisamos checar se as derivadas parciais cruzadas são iguais. Vamos considerar os componentes de partial Fxpartial z = 2x cos z, partial Fzpartial x = 2x cos z :
partial Fypartial z = 3z^2, partial Fzpartial y = 3z^2
Calculamos as derivadas parciais:
Como todas as derivadas cruzadas são iguais, o campo é conservativo.

Passo 3

Agora que sabemos que F = nabla phi = ( partial phipartial x ) i + ( partial phipartial y ) j + ( partial phipartial z ) k é conservativo, vamos encontrar a função potencial partial phipartial x = 2x sin z partial phipartial y = z^3 - e^y partial phipartial z = x^2 cos z + 3y z^2 tal que:
phi(x,y,z) = x^2 sin z + g(y,z)
Igualando os componentes, temos:
partial phipartial y = partial gpartial y = z^3 - e^y
Vamos integrar cada uma dessas equações para encontrar g(y,z) = z^3 y - e^y + h(z) .
Integrando phi(x,y,z) = x^2 sin z + z^3 y - e^y + h(z) em relação a partial phipartial z = x^2 cos z + 3z^2 y + h'(z) = x^2 cos z + 3y z^2 :
phi(x,y,z) = x^2 sin z + z^3 y - e^y
Agora, derivamos em relação a :
Integrando em relação a :
Então, fica:
Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Comparando, vemos que , então é uma constante, que podemos considerar zero. Portanto, a função potencial é:

Passo 4

Com a função potencial integralA^B F cdot dr = phi(B) - phi(A) encontrada, podemos usar o Teorema Fundamental do Cálculo para Integrais de Linha, que diz:
Isso significa que só precisamos calcular nos pontos e e fazer a diferença.

Passo 5

Vamos calcular phi(1,1,pi) = (1)^2 sin pi + pi^3 (1) - e^1 = 0 + pi^3 - e em phi(0,0,0) = (0)^2 sin 0 + 0^3 (0) - e^0 = 0 + 0 - 1 = -1 e em :
Para :
(Lembrando que )
Para :

Resposta

A integral de linha pi^3 - e - (-1) = pi^3 - e + 1 é:

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