em relação ao comprimento do arco medido a partir do ponto na direção crescente de . Expresse a reparametrização em sua forma mais simples. O que você pode concluir sobre a curva?
17-20
(a) Determine os vetores tangente e normal unitários e .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma função vetorial que descreve uma curva:
O objetivo aqui é reparametrizar essa curva em termos do comprimento do arco a partir do ponto na direção crescente de . Além disso, na parte (a), precisamos determinar os vetores tangente unitário e normal unitário . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas de funções vetoriais e normalização de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a reparametrização em termos do comprimento do arco significa expressar a curva usando o comprimento do arco como parâmetro, em vez de . Para isso, precisamos encontrar a relação entre e .
O comprimento do arco desde até um ponto é dado pela integral da magnitude da derivada de em relação a :
Aqui, é o valor de correspondente ao ponto inicial . Vamos primeiro encontrar .

Passo 3

Vamos encontrar o valor de que corresponde ao ponto . Substituímos por :
Então, .

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada de em relação a :
Calculando as derivadas componente a componente:
Para a componente :
Para a componente :
Então,

Passo 5

Agora, vamos encontrar a magnitude de , que é :
Simplificando:
Calculando :
Então,
Simplificando os termos dentro da raiz:
Então,

Passo 6

Agora que temos , podemos encontrar a relação entre e integrando essa expressão de até :
Sabemos que:
Então,
Portanto,

Passo 7

Queremos expressar em termos de , para reparametrizar a curva. A partir de , isolamos :
Agora, substituímos na expressão original de para obter a reparametrização em termos de :

Passo 8

Vamos simplificar essa expressão usando identidades trigonométricas. Sabemos que:
Aplicando isso com :
Então,
Usando a identidade trigonométrica para o cosseno duplo:
Portanto,

Passo 9

Chegamos à forma mais simples da reparametrização:
Isso descreve uma circunferência de raio 1 centrada na origem. A conclusão aqui é que a curva original parametrizada por é, na verdade, uma circunferência unitária.

Resposta

A reparametrização simplificada é:
Podemos concluir que a curva é uma circunferência de raio 1 centrada na origem.

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f(x)=\frac{1}{1+x^{2}}