em relação ao comprimento do arco medido a partir do ponto
na direção crescente de
. Expresse a reparametrização em sua forma mais simples. O que você pode concluir sobre a curva?
17-20
(a) Determine os vetores tangente e normal unitários
e
.
17-20
(a) Determine os vetores tangente e normal unitários
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma função vetorial que descreve uma curva:
O objetivo aqui é reparametrizar essa curva em termos do comprimento do arco a partir do ponto
na direção crescente de
. Além disso, na parte (a), precisamos determinar os vetores tangente unitário
e normal unitário
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas de funções vetoriais e normalização de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a reparametrização em termos do comprimento do arco significa expressar a curva usando o comprimento do arco
como parâmetro, em vez de
. Para isso, precisamos encontrar a relação entre
e
.
O comprimento do arco
desde
até um ponto
é dado pela integral da magnitude da derivada de
em relação a
:
Aqui,
é o valor de
correspondente ao ponto inicial
. Vamos primeiro encontrar
.
Passo 3
Vamos encontrar o valor de
que corresponde ao ponto
. Substituímos
por
:
Então,
.
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada de
em relação a
:
Calculando as derivadas componente a componente:
Para a componente
:
Para a componente
:
Então,
Passo 5
Agora, vamos encontrar a magnitude de
, que é
:
Simplificando:
Calculando
:
Então,
Simplificando os termos dentro da raiz:
Então,
Passo 6
Agora que temos
, podemos encontrar a relação entre
e
integrando essa expressão de
até
:
Sabemos que:
Então,
Portanto,
Passo 7
Queremos expressar
em termos de
, para reparametrizar a curva. A partir de
, isolamos
:
Agora, substituímos
na expressão original de
para obter a reparametrização em termos de
:
Passo 8
Vamos simplificar essa expressão usando identidades trigonométricas. Sabemos que:
Aplicando isso com
:
Então,
Usando a identidade trigonométrica para o cosseno duplo:
Portanto,
Passo 9
Chegamos à forma mais simples da reparametrização:
Isso descreve uma circunferência de raio 1 centrada na origem. A conclusão aqui é que a curva original parametrizada por
é, na verdade, uma circunferência unitária.
Resposta
A reparametrização simplificada é:
Podemos concluir que a curva é uma circunferência de raio 1 centrada na origem.
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com
em torno do seu eixo de simetria. Nestas condições:
Dê as coordenadas do ponto F onde deve ser instalado o receptor da antena.
Dê as coordenadas do ponto F onde deve ser instalado o receptor da antena.
Para cada função, quando necessário, use o conceito de limite para esboçar o gráfico de f. Registre os interceptos OX e OY, as assíntotas horizontal e vertical (caso existam), e discuta a continuidade.
f(x)=\frac{1}{1+x^{2}}
f(x)=\frac{1}{1+x^{2}}