r(t) = (2/(t^2+1) - 1) i + (2t/(t^2+1)) j
em relação ao comprimento do arco medido a partir do ponto 1,0 na direção crescente de t. Expresse a reparametrização em sua forma mais simples. O que você pode concluir sobre a curva?
17-20
(a) Determine os vetores tangente e normal unitários T(t) e N(t).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma função vetorial que descreve uma curva:
O objetivo aqui é reparametrizar essa curva em termos do comprimento do arco a partir do ponto 1,0 na direção crescente de t. Além disso, na parte (a), precisamos determinar os vetores tangente unitário T(t) e normal unitário N(t). Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas de funções vetoriais e normalização de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a reparametrização em termos do comprimento do arco significa expressar a curva usando o comprimento do arco s como parâmetro, em vez de t. Para isso, precisamos encontrar a relação entre s e t.
O comprimento do arco s desde até um ponto t é dado pela integral da magnitude da derivada de r(t) em relação a t:
Aqui, a é o valor de t correspondente ao ponto inicial 1,0. Vamos primeiro encontrar a.

Passo 3

Vamos encontrar o valor de t que corresponde ao ponto 1,0. Substituímos r(t) por 1,0:
Então, .

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada de r(t) em relação a t:
Calculando as derivadas componente a componente:
Para a componente i:
Para a componente j:
Então,

Passo 5

Agora, vamos encontrar a magnitude de , que é :
Simplificando:
Calculando :
Então,
Simplificando os termos dentro da raiz:
Então,

Passo 6

Agora que temos , podemos encontrar a relação entre s e t integrando essa expressão de até t:
Sabemos que:
Então,
Portanto,

Passo 7

Queremos expressar t em termos de s, para reparametrizar a curva. A partir de , isolamos t:
Agora, substituímos na expressão original de r(t) para obter a reparametrização em termos de s:

Passo 8

Vamos simplificar essa expressão usando identidades trigonométricas. Sabemos que:
Aplicando isso com :
Então,
Usando a identidade trigonométrica para o cosseno duplo:
Portanto,

Passo 9

Chegamos à forma mais simples da reparametrização:
Isso descreve uma circunferência de raio 1 centrada na origem. A conclusão aqui é que a curva original parametrizada por t é, na verdade, uma circunferência unitária.

Resposta

A reparametrização simplificada é:
Podemos concluir que a curva é uma circunferência de raio 1 centrada na origem.

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