Uma antena parabólica de televisão foi construída girando a parábola de equação
com
em torno do seu eixo de simetria. Nestas condições:
Dê as coordenadas do ponto F onde deve ser instalado o receptor da antena.
Dê as coordenadas do ponto F onde deve ser instalado o receptor da antena.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma antena parabólica que foi criada girando uma parábola com a equação
ao redor do seu eixo de simetria, que no caso é o eixo y. O nosso objetivo aqui é encontrar as coordenadas do ponto F, que é onde a gente vai instalar o receptor da antena. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre a geometria das parábolas, mais especificamente, como encontrar o foco de uma parábola.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a forma geral de uma parábola que abre para cima ou para baixo é
, onde
é um número que determina a “abertura” da parábola. No nosso caso, temos
.
Passo 3
O próximo passo é encontrar o foco dessa parábola. O foco é um ponto especial que está localizado dentro da parábola e é essencial para o funcionamento da antena, pois é lá que os sinais convergem.
Passo 4
A fórmula para encontrar a coordenada y do foco de uma parábola na forma
é:
Vamos substituir o valor de
que temos:
Passo 5
Como a parábola é simétrica em relação ao eixo y, a coordenada x do foco é 0. Então, as coordenadas completas do foco F são
.
Resposta
As coordenadas do ponto F são
.
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em relação ao comprimento do arco medido a partir do ponto
na direção crescente de
. Expresse a reparametrização em sua forma mais simples. O que você pode concluir sobre a curva?
17-20
(a) Determine os vetores tangente e normal unitários e
.
17-20
(a) Determine os vetores tangente e normal unitários
Para cada função, quando necessário, use o conceito de limite para esboçar o gráfico de f. Registre os interceptos OX e OY, as assíntotas horizontal e vertical (caso existam), e discuta a continuidade.
f(x)=\frac{1}{1+x^{2}}
f(x)=\frac{1}{1+x^{2}}
Para cada função, quando necessário, use o conceito de limite para esboçar o gráfico de f. Registre os interceptos OX e OY, as assíntotas horizontal e vertical (caso existam), e discuta a continuidade.
f(x)=|x-1|+|2-x|+|x-3|
f(x)=|x-1|+|2-x|+|x-3|