Uma antena parabólica de televisão foi construída girando a parábola de equação y = 1/15 x^2 com -5 <= x <= 5 em torno do seu eixo de simetria. Nestas condições:
Dê as coordenadas do ponto F onde deve ser instalado o receptor da antena.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma antena parabólica que foi criada girando uma parábola com a equação ao redor do seu eixo de simetria, que no caso é o eixo y. O nosso objetivo aqui é encontrar as coordenadas do ponto F, que é onde a gente vai instalar o receptor da antena. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre a geometria das parábolas, mais especificamente, como encontrar o foco de uma parábola.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a forma geral de uma parábola que abre para cima ou para baixo é , onde é um número que determina a “abertura” da parábola. No nosso caso, temos .

Passo 3

O próximo passo é encontrar o foco dessa parábola. O foco é um ponto especial que está localizado dentro da parábola e é essencial para o funcionamento da antena, pois é lá que os sinais convergem.

Passo 4

A fórmula para encontrar a coordenada y do foco de uma parábola na forma é:
Vamos substituir o valor de que temos:

Passo 5

Como a parábola é simétrica em relação ao eixo y, a coordenada x do foco é 0. Então, as coordenadas completas do foco F são .

Resposta

As coordenadas do ponto F são .

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