a=2+v / 5 ; v=0 x=0 quando t=0. Encontre ve x quando t=1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um problema de cinemática onde nos dão a aceleração em função da velocidade , junto com condições iniciais para a velocidade e a posição no instante . O objetivo é encontrar os valores de e quando . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente resolução de equações diferenciais e integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a relação que nos foi dada: dvdt = 2 + v5 . Aqui, representa a aceleração, que é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja, . Então podemos escrever:
Essa é uma equação diferencial que relaciona e .

Passo 3

Para resolver essa equação diferencial, vamos usar o método de separação de variáveis. Primeiro, vamos reorganizar os termos para separar dv2 + v5 = dt e 2 + v5 = 10 + v5 :
5, dv10 + v = dt
Vamos simplificar o denominador:
Então, a equação fica:

Passo 4

Agora, vamos integrar ambos os lados. A integral do lado esquerdo com respeito a integral 510 + v , dv = integral 1 , dt e do lado direito com respeito a 5 ln(10 + v) = t + C :
A integral do lado esquerdo é e a do lado direito é , onde é a constante de integração:

Passo 5

Agora, vamos usar a condição inicial para encontrar 5 ln(10 + 0) = 0 + C implies 5 ln(10) = C . Sabemos que quando 5 ln(10 + v) = t + 5 ln(10) , :
Então, nossa equação fica:

Passo 6

Vamos simplificar a equação para isolar ln(10 + v) = t5 + ln(10) :
ln(10 + v) - ln(10) = t5 implies ln(10 + v10) = t5
Usando propriedades dos logaritmos, podemos escrever:
10 + v10 = e^t5
Agora, aplicando a função exponencial em ambos os lados:
10 + v = 10 e^t5 implies v = 10 e^t5 - 10
Resolvendo para :

Passo 7

Agora que temos v(1) = 10 e^15 - 10 approx 10 times 1,2214 - 10 = 12,214 - 10 = 2,214 , m/s , vamos encontrar quando :

Passo 8

Para encontrar a posição x(t) = integral v(t) , dt = integral (10 e^t5 - 10) dt em função do tempo, vamos integrar x(t) = 10 times 5 e^t5 - 10t + C :
x(t) = 50 e^t5 - 10t + C
Integrando termo a termo:
Simplificando:

Passo 9

Usando a condição inicial 0 = 50 e^0 - 10 times 0 + C implies 0 = 50 + C implies C = -50 quando x(t) = 50 e^t5 - 10t - 50 , encontramos :
Então, a equação da posição fica:

Passo 10

Agora, vamos encontrar x(1) = 50 e^15 - 10 times 1 - 50 approx 50 times 1,2214 - 10 - 50 = 61,07 - 10 - 50 = 1,07 , m quando :

Resposta

Quando , a velocidade é aproximadamente e a posição é .

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