quando
. Encontre ve
quando
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um problema de cinemática onde nos dão a aceleração
em função da velocidade
, junto com condições iniciais para a velocidade e a posição no instante
. O objetivo é encontrar os valores de
e
quando
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente resolução de equações diferenciais e integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a relação que nos foi dada:
. Aqui,
representa a aceleração, que é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja,
. Então podemos escrever:
Essa é uma equação diferencial que relaciona
e
.
Passo 3
Para resolver essa equação diferencial, vamos usar o método de separação de variáveis. Primeiro, vamos reorganizar os termos para separar
e
:
Vamos simplificar o denominador:
Então, a equação fica:
Passo 4
Agora, vamos integrar ambos os lados. A integral do lado esquerdo com respeito a
e do lado direito com respeito a
:
A integral do lado esquerdo é
e a do lado direito é
, onde
é a constante de integração:
Passo 5
Agora, vamos usar a condição inicial para encontrar
. Sabemos que quando
,
:
Então, nossa equação fica:
Passo 6
Vamos simplificar a equação para isolar
:
Usando propriedades dos logaritmos, podemos escrever:
Agora, aplicando a função exponencial em ambos os lados:
Resolvendo para
:
Passo 7
Agora que temos
, vamos encontrar
quando
:
Passo 8
Para encontrar a posição
em função do tempo, vamos integrar
:
Integrando termo a termo:
Simplificando:
Passo 9
Usando a condição inicial
quando
, encontramos
:
Então, a equação da posição fica:
Passo 10
Agora, vamos encontrar
quando
:
Resposta
Quando
, a velocidade é aproximadamente
e a posição é
.
Exercícios relacionados
Uma partícula é lançada com velocidade
a partir de um ponto fixo
, movendo-se em uma linha reta OX. A desaceleração é é proporcional a v, onde v é a velocidade quando sua distância de O é x. (chame de b a constante de proporcionalidade). a) mostre que
umà constante quando
).
Uma partícula move-se em linha reta tal que no tempo
desde o inicio do movimento seu deslocamento a partir de um ponto
sua velocidade é
(k uma constante)
quando
)Calcule:
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a)Ä aceleração inicial da partícula. b) O valor de x quando
Um carro move-se em uma estrada reța.Quando êle passa a partir de uma posição O o motor é desligado. No tempo t , decomido após êle ter passado por O , a velocidade do carro v , é
, A e B constantes positivas. a) Mostre que a desaceleração é proporcional a v ao quadrado. b) Se distância a partir de O no tempo t , ache
.