quando . Encontre ve quando .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um problema de cinemática onde nos dão a aceleração em função da velocidade , junto com condições iniciais para a velocidade e a posição no instante . O objetivo é encontrar os valores de e quando . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente resolução de equações diferenciais e integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a relação que nos foi dada: . Aqui, representa a aceleração, que é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja, . Então podemos escrever:
Essa é uma equação diferencial que relaciona e .

Passo 3

Para resolver essa equação diferencial, vamos usar o método de separação de variáveis. Primeiro, vamos reorganizar os termos para separar e :
Vamos simplificar o denominador:
Então, a equação fica:

Passo 4

Agora, vamos integrar ambos os lados. A integral do lado esquerdo com respeito a e do lado direito com respeito a :
A integral do lado esquerdo é e a do lado direito é , onde é a constante de integração:

Passo 5

Agora, vamos usar a condição inicial para encontrar . Sabemos que quando , :
Então, nossa equação fica:

Passo 6

Vamos simplificar a equação para isolar :
Usando propriedades dos logaritmos, podemos escrever:
Agora, aplicando a função exponencial em ambos os lados:
Resolvendo para :

Passo 7

Agora que temos , vamos encontrar quando :

Passo 8

Para encontrar a posição em função do tempo, vamos integrar :
Integrando termo a termo:
Simplificando:

Passo 9

Usando a condição inicial quando , encontramos :
Então, a equação da posição fica:

Passo 10

Agora, vamos encontrar quando :

Resposta

Quando , a velocidade é aproximadamente e a posição é .

Exercícios relacionados

quando . Calcule quando e encontre quando .
Uma partícula é lançada com velocidade a partir de um ponto fixo , movendo-se em uma linha reta OX. A desaceleração é é proporcional a v, onde v é a velocidade quando sua distância de O é x. (chame de b a constante de proporcionalidade). a) mostre que umà constante quando ).
Uma partícula move-se em linha reta tal que no tempo desde o inicio do movimento seu deslocamento a partir de um ponto sua velocidade é (k uma constante) quando )Calcule:
a)Ä aceleração inicial da partícula. b) O valor de x quando ; c) A equação para. v como funçãõ de t.
Um carro move-se em uma estrada reța.Quando êle passa a partir de uma posição O o motor é desligado. No tempo t , decomido após êle ter passado por O , a velocidade do carro v , é , A e B constantes positivas. a) Mostre que a desaceleração é proporcional a v ao quadrado. b) Se distância a partir de O no tempo t , ache .