Um carro move-se em uma estrada reța.Quando êle passa a partir de uma posição O o motor é desligado. No tempo t , decomido após êle ter passado por O , a velocidade do carro v , é
, A e B constantes positivas. a) Mostre que a desaceleração é proporcional a v ao quadrado. b) Se distância a partir de O no tempo t , ache
.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão tá pedindo. Temos um carro que passa por um ponto O numa estrada reta e, quando passa, o motor dele desliga. A partir daí, a velocidade do carro em função do tempo
é dada por
, onde
e
são constantes positivas.
Vamos precisar entender como a desaceleração (ou seja, a redução na velocidade) do carro está relacionada à sua velocidade, e depois encontrar a distância percorrida em função do tempo e a velocidade em função da posição.
Passo 2
Primeiro, vamos clarificar a equação da velocidade. A velocidade está expressa como
. Isso significa que:
Aqui,
e
são constantes positivas.
Passo 3
Parte a: Mostrar que a desaceleração é proporcional ao quadrado da velocidade
Desaceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, mas como o carro está desacelerando, ela será negativa. Vamos calcular a desaceleração
:
Primeiro, derivamos
:
Então:
Agora, queremos mostrar que
é proporcional a
. Vamos elevar
ao quadrado:
Comparando com
:
Isso mostra que a desaceleração é proporcional ao quadrado da velocidade, já que
é igual a uma constante (
) vezes
.
Passo 4
Parte b: Encontrar
e
Primeiro, vamos encontrar a posição
em função do tempo. Sabemos que:
Para encontrar
, integramos
em relação ao tempo:
A integral de
é:
Como o carro passa por O quando
e
, podemos encontrar a constante de integração
:
Então, a posição fica:
Agora, para achar
, precisamos expressar
em função de
e substituir na equação da velocidade. Mas isso pode ser complicado, então vamos usar a relação
e relacionar diretamente
e
.
Sabemos que:
E da posição:
Vamos isolar
da equação de
:
Então:
Resposta
a) A desaceleração é proporcional ao quadrado da velocidade, ou seja,
.
b) A posição em função do tempo é
e a velocidade em função da posição é
.
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Uma partícula move-se em linha reta tal que no tempo
desde o inicio do movimento seu deslocamento a partir de um ponto
sua velocidade é
(k uma constante)
quando
)Calcule:
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a)Ä aceleração inicial da partícula. b) O valor de x quando
Uma partícula move-se em linha reta tal que sua distância x a origem é dada pela equação
Usando a definição de derivada, calcule as derivadas das seguintes funções: b)