Um carro move-se em uma estrada reța.Quando êle passa a partir de uma posição O o motor é desligado. No tempo t , decomido após êle ter passado por O , a velocidade do carro v , é , A e B constantes positivas. a) Mostre que a desaceleração é proporcional a v ao quadrado. b) Se distância a partir de O no tempo t , ache .

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão tá pedindo. Temos um carro que passa por um ponto O numa estrada reta e, quando passa, o motor dele desliga. A partir daí, a velocidade do carro em função do tempo é dada por , onde e são constantes positivas.
Vamos precisar entender como a desaceleração (ou seja, a redução na velocidade) do carro está relacionada à sua velocidade, e depois encontrar a distância percorrida em função do tempo e a velocidade em função da posição.

Passo 2

Primeiro, vamos clarificar a equação da velocidade. A velocidade está expressa como . Isso significa que:
Aqui, e são constantes positivas.

Passo 3

Parte a: Mostrar que a desaceleração é proporcional ao quadrado da velocidade
Desaceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, mas como o carro está desacelerando, ela será negativa. Vamos calcular a desaceleração :
Primeiro, derivamos :
Então:
Agora, queremos mostrar que é proporcional a . Vamos elevar ao quadrado:
Comparando com :
Isso mostra que a desaceleração é proporcional ao quadrado da velocidade, já que é igual a uma constante ( ) vezes .

Passo 4

Parte b: Encontrar e
Primeiro, vamos encontrar a posição em função do tempo. Sabemos que:
Para encontrar , integramos em relação ao tempo:
A integral de é:
Como o carro passa por O quando e , podemos encontrar a constante de integração :
Então, a posição fica:
Agora, para achar , precisamos expressar em função de e substituir na equação da velocidade. Mas isso pode ser complicado, então vamos usar a relação e relacionar diretamente e .
Sabemos que:
E da posição:
Vamos isolar da equação de :
Então:

Resposta

a) A desaceleração é proporcional ao quadrado da velocidade, ou seja, .
b) A posição em função do tempo é e a velocidade em função da posição é .

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Uma partícula move-se em linha reta tal que no tempo desde o inicio do movimento seu deslocamento a partir de um ponto sua velocidade é (k uma constante) quando )Calcule:
a)Ä aceleração inicial da partícula. b) O valor de x quando ; c) A equação para. v como funçãõ de t.
quando . Encontre ve quando .
Uma partícula move-se em linha reta tal que sua distância x a origem é dada pela equação
Usando a definição de derivada, calcule as derivadas das seguintes funções: b)