Um carro move-se em uma estrada reța.Quando êle passa a partir de uma posição O o motor é desligado. No tempo t , decomido após êle ter passado por O , a velocidade do carro v , é v^-1 F+B, A e B constantes positivas. a) Mostre que a desaceleração é proporcional a v ao quadrado. b) Se distância a partir de O no tempo t , ache x(t) e v(x).
l 9) v(x)=beta raizx^2-alpha^2x ; a(x)=beta alpha^2 / x^3 ;

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão tá pedindo. Temos um carro que passa por um ponto O numa estrada reta e, quando passa, o motor dele desliga. A partir daí, a velocidade do carro em função do tempo é dada por , onde e são constantes positivas.
Vamos precisar entender como a desaceleração (ou seja, a redução na velocidade) do carro está relacionada à sua velocidade, e depois encontrar a distância percorrida em função do tempo e a velocidade em função da posição.

Passo 2

Primeiro, vamos clarificar a equação da velocidade. A velocidade está expressa como v(t) = 1At + B . Isso significa que:
Aqui, e são constantes positivas.

Passo 3

Parte a: Mostrar que a desaceleração é proporcional ao quadrado da velocidade
Desaceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, mas como o carro está desacelerando, ela será negativa. Vamos calcular a desaceleração a(t) = dvdt :
v(t) = 1At + B dvdt = -A(At + B)^2
Primeiro, derivamos a(t) = -A(At + B)^2 :
v(t)^2 = (1At + B)^2 = 1(At + B)^2
Então:
a(t) = -A cdot v(t)^2
Agora, queremos mostrar que é proporcional a . Vamos elevar ao quadrado:
Comparando com :
Isso mostra que a desaceleração é proporcional ao quadrado da velocidade, já que é igual a uma constante ( ) vezes .

Passo 4

Parte b: Encontrar v(t) = dxdt = 1At + B e x(t) = integral v(t) , dt = integral 1At + B , dt
Primeiro, vamos encontrar a posição x(t) = 1A ln|At + B| + C em função do tempo. Sabemos que:
0 = 1A ln|B| + C Rightarrow C = -1A ln B
Para encontrar x(t) = 1A ln(At + BB) , integramos v = 1At + B em relação ao tempo:
x = 1A ln(At + BB)
A integral de At + B = B e^A x é:
v(x) = 1At + B = 1B e^A x = e^-A xB
Como o carro passa por O quando e , podemos encontrar a constante de integração :
Então, a posição fica:
Agora, para achar , precisamos expressar em função de e substituir na equação da velocidade. Mas isso pode ser complicado, então vamos usar a relação e relacionar diretamente e .
Sabemos que:
E da posição:
Vamos isolar da equação de :
Então:

Resposta

a) A desaceleração é proporcional ao quadrado da velocidade, ou seja, .
b) A posição em função do tempo é e a velocidade em função da posição é .

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