Uma partícula é lançada com velocidade a partir de um ponto fixo , movendo-se em uma linha reta OX. A desaceleração é é proporcional a v, onde v é a velocidade quando sua distância de O é x. (chame de b a constante de proporcionalidade). a) mostre que umà constante quando ).

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma partícula que é lançada com uma velocidade inicial a partir de um ponto fixo , movendo-se em linha reta na direção OX. A desaceleração dessa partícula é proporcional à sua velocidade . Ou seja, quanto mais rápida a partícula vai, maior é a desaceleração que ela sofre. A constante de proporcionalidade dessa relação é chamada de .
Nosso objetivo aqui é mostrar que a relação entre a velocidade da partícula e a distância que ela percorre é dada por:
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente equações diferenciais que relacionam velocidade e posição.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a relação entre a desaceleração e a velocidade. A desaceleração é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo, ou seja:
Segundo o enunciado, a desaceleração é proporcional à velocidade:
O sinal negativo indica que a aceleração está atuando no sentido oposto ao movimento, ou seja, está desacelerando a partícula.

Passo 3

Agora, temos uma equação diferencial:
Essa é uma equação diferencial de primeira ordem e linear, que podemos resolver separando as variáveis. Vamos reorganizar a equação para isolar de um lado e do outro:

Passo 4

Integrando ambos os lados da equação, obtemos:
Isso resulta em:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Para resolver a constante de integração , usamos a condição inicial. Quando , a velocidade . Substituindo esses valores na equação:
Então, a equação fica:

Passo 6

Podemos reescrever essa equação exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Esta é a expressão da velocidade em função do tempo para uma desaceleração proporcional à velocidade.

Passo 7

Agora, queremos relacionar a velocidade com a distância percorrida. Sabemos que velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo:
Substituindo a expressão de que encontramos:

Passo 8

Para encontrar em termos de , integramos a equação com relação ao tempo:
Onde é outra constante de integração. Considerando que quando :
Então, a posição em função do tempo é:

Passo 9

Agora, precisamos expressar em termos de . A partir da equação acima:
Tomando o logaritmo natural de ambos os lados:

Passo 10

Agora, substituímos de volta na expressão da velocidade:
No entanto, para chegar à forma requerida , precisamos reconsiderar a abordagem.

Passo 11

Reescrevendo a equação da velocidade em termos de e , temos:
Sabendo que , podemos reescrever como:
Simplificando:

Passo 12

Integrando ambos os lados com relação a :
Isso resulta em:
Usando a condição inicial quando , :
Então, a velocidade em função de é:

Passo 13

Agora, queremos expressar em função de :
Podemos expandir isso usando uma série de Taylor para simplificar, assumindo que é pequeno:
Se considerarmos , então:

Resposta

Assim, mostramos que:
Onde é uma constante quando .

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Uma partícula move-se em linha reta tal que sua aceleraçäo em qualquer instante é proporcional a sua velocidade sendo a constante de proporcionalidade. (use que quando ) ) encontre expressão de v como função de t . b) Usando agora que se quando ache x como função de . c)ache como funçãó de t.(ache a constante de integração considerando que se .)
Uma partícula se movimenta em linha reta sob a ação de uma força dependente do tempo de acordo com a expressão abaixo:

De acordo com o que foi dado calcule:
a) A expressão da variação do momento linear da partícula.
b) O impulso da força resultante atuante na partícula entre os instantes 2 s e 4 s .
quando . Calcule quando e encontre quando .
quando . Encontre ve quando .