Uma partícula é lançada com velocidade V0 a partir de um ponto fixo O, movendo-se em uma linha reta OX. A desaceleração é é proporcional a v, onde v é a velocidade quando sua distância de O é x. (chame de b a constante de proporcionalidade). a) mostre que 1 / v=1 / V0+z x, z umà constante quando t=0 ).

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma partícula que é lançada com uma velocidade inicial V0 a partir de um ponto fixo O, movendo-se em linha reta na direção OX. A desaceleração dessa partícula é proporcional à sua velocidade v. Ou seja, quanto mais rápida a partícula vai, maior é a desaceleração que ela sofre. A constante de proporcionalidade dessa relação é chamada de b.
Nosso objetivo aqui é mostrar que a relação entre a velocidade v da partícula e a distância x que ela percorre é dada por:
1v = 1V0 + bz x
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente equações diferenciais que relacionam velocidade e posição.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a relação entre a desaceleração e a velocidade. A desaceleração a é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo, ou seja:
a = dvdt
Segundo o enunciado, a desaceleração é proporcional à velocidade:
a = -b v
O sinal negativo indica que a aceleração está atuando no sentido oposto ao movimento, ou seja, está desacelerando a partícula.

Passo 3

Agora, temos uma equação diferencial:
dvdt = -b v
Essa é uma equação diferencial de primeira ordem e linear, que podemos resolver separando as variáveis. Vamos reorganizar a equação para isolar dv de um lado e dt do outro:
dvv = -b , dt

Passo 4

Integrando ambos os lados da equação, obtemos:
integral 1v , dv = -b integral dt
Isso resulta em:
ln v = -b t + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 5

Para resolver a constante de integração C, usamos a condição inicial. Quando t = 0, a velocidade v = V0. Substituindo esses valores na equação:
ln V0 = -b cdot 0 + C Rightarrow C = ln V0
Então, a equação fica:
ln v = -b t + ln V0

Passo 6

Podemos reescrever essa equação exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
v = V0 e^-b t
Esta é a expressão da velocidade em função do tempo para uma desaceleração proporcional à velocidade.

Passo 7

Agora, queremos relacionar a velocidade v com a distância x percorrida. Sabemos que velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo:
v = dxdt
Substituindo a expressão de v que encontramos:
dxdt = V0 e^-b t

Passo 8

Para encontrar x em termos de t, integramos a equação com relação ao tempo:
x = integral V0 e^-b t , dt = -V0b e^-b t + C'
Onde C' é outra constante de integração. Considerando que x = 0 quando t = 0:
0 = -V0b e^0 + C' Rightarrow C' = V0b
Então, a posição em função do tempo é:
x = V0b (1 - e^-b t)

Passo 9

Agora, precisamos expressar t em termos de x. A partir da equação acima:
1 - e^-b t = b xV0 Rightarrow e^-b t = 1 - b xV0
Tomando o logaritmo natural de ambos os lados:
-b t = ln (1 - b xV0) Rightarrow t = -1b ln (1 - b xV0)

Passo 10

Agora, substituímos t de volta na expressão da velocidade:
v = V0 e^-b t = V0 e^ln (1 - b xV0) = V0 (1 - b xV0) = V0 - b x
No entanto, para chegar à forma requerida 1v = 1V0 + bz x, precisamos reconsiderar a abordagem.

Passo 11

Reescrevendo a equação da velocidade em termos de v e x, temos:
v = dxdt Rightarrow dt = dxv
Sabendo que dvdt = -b v, podemos reescrever como:
dvdx cdot dxdt = -b v Rightarrow v dvdx = -b v
Simplificando:
dvdx = -b

Passo 12

Integrando ambos os lados com relação a x:
integral dv = -b integral dx
Isso resulta em:
v = -b x + C
Usando a condição inicial quando x = 0, v = V0:
V0 = -b cdot 0 + C Rightarrow C = V0
Então, a velocidade em função de x é:
v = V0 - b x

Passo 13

Agora, queremos expressar 1v em função de x:
1v = 1V0 - b x = 1V0 cdot 11 - b xV0
Podemos expandir isso usando uma série de Taylor para simplificar, assumindo que b xV0 é pequeno:
1v approx 1V0 (1 + b xV0) = 1V0 + b xV0^2
Se considerarmos z = 1V0, então:
1v = 1V0 + b z x

Resposta

Assim, mostramos que:
1v = 1V0 + bz x
Onde z = 1V0 é uma constante quando t = 0.

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