Uma partícula é lançada com velocidade
a partir de um ponto fixo
, movendo-se em uma linha reta OX. A desaceleração é é proporcional a v, onde v é a velocidade quando sua distância de O é x. (chame de b a constante de proporcionalidade). a) mostre que
umà constante quando
).
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma partícula que é lançada com uma velocidade inicial
a partir de um ponto fixo
, movendo-se em linha reta na direção OX. A desaceleração dessa partícula é proporcional à sua velocidade
. Ou seja, quanto mais rápida a partícula vai, maior é a desaceleração que ela sofre. A constante de proporcionalidade dessa relação é chamada de
.
Nosso objetivo aqui é mostrar que a relação entre a velocidade
da partícula e a distância
que ela percorre é dada por:
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente equações diferenciais que relacionam velocidade e posição.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a relação entre a desaceleração e a velocidade. A desaceleração
é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo, ou seja:
Segundo o enunciado, a desaceleração é proporcional à velocidade:
O sinal negativo indica que a aceleração está atuando no sentido oposto ao movimento, ou seja, está desacelerando a partícula.
Passo 3
Agora, temos uma equação diferencial:
Essa é uma equação diferencial de primeira ordem e linear, que podemos resolver separando as variáveis. Vamos reorganizar a equação para isolar
de um lado e
do outro:
Passo 4
Integrando ambos os lados da equação, obtemos:
Isso resulta em:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Para resolver a constante de integração
, usamos a condição inicial. Quando
, a velocidade
. Substituindo esses valores na equação:
Então, a equação fica:
Passo 6
Podemos reescrever essa equação exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Esta é a expressão da velocidade em função do tempo para uma desaceleração proporcional à velocidade.
Passo 7
Agora, queremos relacionar a velocidade
com a distância
percorrida. Sabemos que velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo:
Substituindo a expressão de
que encontramos:
Passo 8
Para encontrar
em termos de
, integramos a equação com relação ao tempo:
Onde
é outra constante de integração. Considerando que
quando
:
Então, a posição em função do tempo é:
Passo 9
Agora, precisamos expressar
em termos de
. A partir da equação acima:
Tomando o logaritmo natural de ambos os lados:
Passo 10
Agora, substituímos
de volta na expressão da velocidade:
No entanto, para chegar à forma requerida
, precisamos reconsiderar a abordagem.
Passo 11
Reescrevendo a equação da velocidade em termos de
e
, temos:
Sabendo que
, podemos reescrever como:
Simplificando:
Passo 12
Integrando ambos os lados com relação a
:
Isso resulta em:
Usando a condição inicial quando
,
:
Então, a velocidade em função de
é:
Passo 13
Agora, queremos expressar
em função de
:
Podemos expandir isso usando uma série de Taylor para simplificar, assumindo que
é pequeno:
Se considerarmos
, então:
Resposta
Assim, mostramos que:
Onde
é uma constante quando
.
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Uma partícula move-se em linha reta tal que sua aceleraçäo em qualquer instante é proporcional a sua velocidade sendo
a constante de proporcionalidade. (use que
quando
)
) encontre
expressão de v como função de t . b) Usando agora que se
quando
ache x como função de
. c)ache
como funçãó de t.(ache a constante de integração considerando que
se
.)
Uma partícula se movimenta em linha reta sob a ação de uma força dependente do tempo de acordo com a expressão abaixo:
De acordo com o que foi dado calcule:
a) A expressão da variação do momento linear da partícula.
b) O impulso da força resultante atuante na partícula entre os instantes 2 s e 4 s .
a) A expressão da variação do momento linear da partícula.
b) O impulso da força resultante atuante na partícula entre os instantes 2 s e 4 s .