Uma partícula move-se em linha reta tal que no tempo
desde o inicio do movimento seu deslocamento a partir de um ponto
sua velocidade é
(k uma constante)
quando
)Calcule:
a)Ä aceleração inicial da partícula. b) O valor de x quando
; c) A equação para. v como funçãõ de t.
a)Ä aceleração inicial da partícula. b) O valor de x quando
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma partícula que se move em linha reta a partir de um ponto O. A posição dela no tempo
é dada por
, e a velocidade é
, onde
é uma constante. Além disso, sabemos que quando
, a posição
. Vamos precisar usar conceitos de cinemática, como derivadas para velocidade e aceleração, e resolver equações diferenciais simples.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a aceleração inicial da partícula. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja,
. Sabemos que
, então precisamos relacionar
com
.
Passo 3
Como
, temos uma equação diferencial
. Para resolver isso, separamos as variáveis:
. Integrando ambos os lados, obtemos
, onde
é a constante de integração.
Passo 4
Exponenciando ambos os lados para resolver para
, temos
. Agora, usamos a condição inicial
quando
para encontrar
. Substituindo,
. Portanto, a expressão para
é
.
Passo 5
Agora, voltamos para a velocidade:
. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
A aceleração inicial ocorre quando
:
Passo 6
Para encontrar o valor de
quando
segundos, usamos a expressão
:
Passo 7
Finalmente, a equação para
como função de
já a temos:
Resposta
a) A aceleração inicial da partícula é
.
b) O valor de quando
segundos é
.
c) A equação para a velocidade em função do tempo é .
b) O valor de
c) A equação para a velocidade em função do tempo é
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.
Uma partícula move-se em linha reta tal que sua distância x a origem é dada pela equação