Uma partícula move-se em linha reta tal que no tempo t desde o inicio do movimento seu deslocamento a partir de um ponto O e^prime x, e sua velocidade é v=kx (k uma constante) f f=b quando t=0 )Calcule:
a)Ä aceleração inicial da partícula. b) O valor de x quando t=2 seg; c) A equação para. v como funçãõ de t.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma partícula que se move em linha reta a partir de um ponto O. A posição dela no tempo é dada por , e a velocidade é , onde é uma constante. Além disso, sabemos que quando , a posição . Vamos precisar usar conceitos de cinemática, como derivadas para velocidade e aceleração, e resolver equações diferenciais simples.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a aceleração inicial da partícula. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja, . Sabemos que , então precisamos relacionar com .

Passo 3

Como , temos uma equação diferencial . Para resolver isso, separamos as variáveis: . Integrando ambos os lados, obtemos , onde é a constante de integração.

Passo 4

Exponenciando ambos os lados para resolver para , temos . Agora, usamos a condição inicial quando para encontrar . Substituindo, . Portanto, a expressão para é .

Passo 5

Agora, voltamos para a velocidade: a = dvdt = ddt(kbe^kt) = k^2be^kt . A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
ainicial = k^2b
A aceleração inicial ocorre quando :

Passo 6

Para encontrar o valor de x(2) = be^2k quando segundos, usamos a expressão :

Passo 7

Finalmente, a equação para v(t) = kbe^kt como função de já a temos:

Resposta

a) A aceleração inicial da partícula é .
b) O valor de quando segundos é .
c) A equação para a velocidade em função do tempo é .

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