Suponha que A, B e C sejam conjuntos contidos em U. Mostre que:
A ∩ B = B ∩ A.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que a interseção dos conjuntos A e B é comutativa, ou seja, que . A matéria que estamos trabalhando aqui é Teoria dos Conjuntos, especificamente sobre operações com conjuntos. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa a interseção de dois conjuntos e a propriedade comutativa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a interseção de dois conjuntos. A interseção, representada por , de dois conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que estão em ambos os conjuntos. Matematicamente, isso é escrito como:
onde U é o conjunto universo que contém todos os elementos possíveis.

Passo 3

Agora, precisamos mostrar que A ∩ B é igual a . Para provar que dois conjuntos são iguais, mostramos que cada um está contido no outro. Ou seja, primeiro mostramos que todo elemento de A ∩ B está em , e depois que todo elemento de está em A ∩ B.

Passo 4

Primeiro, vamos provar que .
  • Seja .
  • Isso significa que x em A e x em B.
  • Mas, x em B e x em A também satisfazem a definição de .
  • Portanto, .
  • Logo, .

Passo 5

Segundo, vamos provar que .
  • Seja .
  • Isso significa que x em B e x em A.
  • Mas, x em A e x em B também satisfazem a definição de A ∩ B.
  • Portanto, .
  • Logo, .

Resposta

Como mostramos que e , concluímos que:

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