Suponha que
e
sejam conjuntos contidos em
. Mostre que:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que a interseção dos conjuntos
e
é comutativa, ou seja, que
. A matéria que estamos trabalhando aqui é Teoria dos Conjuntos, especificamente sobre operações com conjuntos. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa a interseção de dois conjuntos e a propriedade comutativa.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a interseção de dois conjuntos. A interseção, representada por
, de dois conjuntos
e
é o conjunto de todos os elementos que estão em ambos os conjuntos. Matematicamente, isso é escrito como:
onde
é o conjunto universo que contém todos os elementos possíveis.
Passo 3
Agora, precisamos mostrar que
é igual a
. Para provar que dois conjuntos são iguais, mostramos que cada um está contido no outro. Ou seja, primeiro mostramos que todo elemento de
está em
, e depois que todo elemento de
está em
.
Passo 4
Primeiro, vamos provar que
.
- Seja
. - Isso significa que
e . - Mas,
e também satisfazem a definição de . - Portanto,
. - Logo,
.
Passo 5
Segundo, vamos provar que
.
- Seja
. - Isso significa que
e . - Mas,
e também satisfazem a definição de . - Portanto,
. - Logo,
.
Resposta
Como mostramos que
e
, concluímos que:
Exercícios relacionados
(a) Aproxime
por um polinômio de Taylor com grau
no número
.
Prove que
é divisível por 8 para todo
.
(b) Em vista de (a), explique por que a equação
está correta.
Prove que
para todo
.