Suponha que e sejam conjuntos contidos em . Mostre que:
.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que a interseção dos conjuntos e é comutativa, ou seja, que . A matéria que estamos trabalhando aqui é Teoria dos Conjuntos, especificamente sobre operações com conjuntos. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa a interseção de dois conjuntos e a propriedade comutativa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a interseção de dois conjuntos. A interseção, representada por , de dois conjuntos e é o conjunto de todos os elementos que estão em ambos os conjuntos. Matematicamente, isso é escrito como:
onde é o conjunto universo que contém todos os elementos possíveis.

Passo 3

Agora, precisamos mostrar que é igual a . Para provar que dois conjuntos são iguais, mostramos que cada um está contido no outro. Ou seja, primeiro mostramos que todo elemento de está em , e depois que todo elemento de está em .

Passo 4

Primeiro, vamos provar que .
  • Seja .
  • Isso significa que e .
  • Mas, e também satisfazem a definição de .
  • Portanto, .
  • Logo, .

Passo 5

Segundo, vamos provar que .
  • Seja .
  • Isso significa que e .
  • Mas, e também satisfazem a definição de .
  • Portanto, .
  • Logo, .

Resposta

Como mostramos que e , concluímos que:

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(a) Aproxime por um polinômio de Taylor com grau no número .
Prove que é divisível por 8 para todo .
(b) Em vista de (a), explique por que a equação
está correta.
Prove que para todo .