(a) Aproxime
por um polinômio de Taylor com grau
no número
.
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para aproximar a função por um polinômio de Taylor de grau 5 no ponto
, para
. Isso envolve usar a série de Taylor, que é uma maneira de aproximar funções usando polinômios baseados nas derivadas da função no ponto
.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar o que é um polinômio de Taylor. É uma soma de termos que envolve as derivadas da função no ponto
multiplicadas por potências de
dividido por fatoriais. A fórmula geral para um polinômio de Taylor de grau
é:
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de até a quinta ordem:
Passo 4
Agora, avaliamos essas derivadas no ponto
:
Passo 5
Substituímos esses valores na fórmula do polinômio de Taylor até o grau 5:
Resposta
O polinômio de Taylor de grau 5 que aproxima no ponto
é:
Exercícios relacionados
Prove que
é divisível por 8 para todo
.
Encontre o polinômio de Taylor
da função
centrada no número
.
Suponha que
e
sejam conjuntos contidos em
. Mostre que:
.
(b) Em vista de (a), explique por que a equação
está correta.