(a) Aproxime f por um polinômio de Taylor com grau n no número a. f(x) = sen(x), a = pi / 4, n = 5, 0 <= x <= pi / 2

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para aproximar a função por um polinômio de Taylor de grau 5 no ponto , para . Isso envolve usar a série de Taylor, que é uma maneira de aproximar funções usando polinômios baseados nas derivadas da função no ponto .

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar o que é um polinômio de Taylor. É uma soma de termos que envolve as derivadas da função no ponto multiplicadas por potências de dividido por fatoriais. A fórmula geral para um polinômio de Taylor de grau é:

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de até a quinta ordem:

Passo 4

Agora, avaliamos essas derivadas no ponto :

Passo 5

Substituímos esses valores na fórmula do polinômio de Taylor até o grau 5:

Resposta

O polinômio de Taylor de grau 5 que aproxima no ponto é:

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