f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 ; x^2 + y^2 + z^2 + x * y = 12

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado da questão nos dá uma função e uma equação para trabalhar:
  • Função:
  • Equação:
Matéria envolvida: Vamos usar álgebra para manipular expressões e encontrar relações entre as variáveis , e .
O que precisamos: Entender como a função se relaciona com a equação fornecida e encontrar possíveis valores ou relações entre , e .

Passo 2

Vamos começar observando a equação:
Sabemos que a função é:
Então, podemos substituir na equação pela função :

Passo 3

Agora, vamos isolar a função :
Isso nos mostra que o valor de depende do produto .

Passo 4

Para entender melhor, vamos pensar no que essa relação significa:
  • Se aumenta, diminui.
  • Se diminui, aumenta.
Então, para encontrar os possíveis valores de , precisamos entender os limites de .

Passo 5

Vamos analisar os valores possíveis de . Sabemos que:
Como , e são sempre positivos ou zero (porque o quadrado de qualquer número é não-negativo), o termo pode ser positivo ou negativo.
Isso significa que pode variar para que a soma total seja igual a 12.

Passo 6

Para simplificar, vamos considerar casos onde . Isso não resolve completamente o problema, mas ajuda a entender a relação entre e :

Passo 7

Agora, nosso objetivo é encontrar e que satisfaçam essa equação. Podemos reescrever a equação de forma a completar o quadrado:
Não há uma maneira direta de completar o quadrado aqui, então podemos tentar expressar em termos de ou vice-versa.

Passo 8

Vamos resolver a equação para :
Isso é uma equação quadrática em . Podemos usar a fórmula de Bhaskara para encontrar :
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Para que a raiz seja real, o que está dentro dela deve ser maior ou igual a zero:

Passo 9

Então, pode variar entre -4 e 4. Com isso, podemos calcular usando a fórmula que encontramos:
Isso nos dá os valores possíveis para em termos de .

Passo 10

Finalmente, lembrando que , podemos substituir da equação acima para encontrar em termos de .

Resposta

A função está relacionada à equação pela expressão:
Os valores possíveis de dependem do produto , que varia de acordo com os valores de e que satisfazem a equação dada.

Exercícios relacionados

Qual das alternativas representa o intervalo de validade da solução do problema de valor inicial
dy/dx = (x + 2) / (32 * y * (y^2 - 1)) , y(0) = raiz(7) / 2 ?
square(-infinity, infinity).
b (-2 - raiz(11), -2 + raiz(11))
c (-2 - raiz(11), +infinito)
d (-infinito, -2 + raiz(11)).
e (-1, +infinito).
f (-infinito, 1).
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dy/dx = (x - 2) / (32 y (y^2 - 1)), y(0) = raiz(7) / 2
-\infty, +\infty. d (-infinito, 2 + raiz(11)).
b (2 - raiz(11), 2 + raiz(11)). e (-1, +infinito).
c (2 - raiz(11), +infinito). f (-infinito, 1).
Qual das alternativas representa a solução geral da equação diferencial
1/4 dy/dt + (3/4 + 1/t) y = t e^(-3 t)
y(t) = (2 t^2 / 3) e^(-3 t) + c (e^(-3 t) / t^4).
d] y(t) = (2 t^2 / 3) e^(-3 t) + c.
b y(t) = (-4 t / 9 - 128 / (729 t) - 32 / 81) e^(-3 t) + c e^(-3 t / 4) / t.
e) y(t) = (-4 t / 9 - 128 / (729 t) - 32 / 81) e^(-3 t) + c e^(-3 t) / t^4.
[] y(t) = (-4/(3 t^3) - 4/(9 t^4)) e^(-6 t) + c e^(-3 t)/t^4.
f y(t) = (2 t^2 / 3) e^(-3 t).
Qual das alternativas representa o intervalo de validade da solução do problema de valor inicial
l d yd x=-x+1y(y+1)(y-2) y(-1+raiz31 / 6)=1
Observação: raiz31 / 6 approx 2.3,5 raiz3 / 3 approx 2.9, raiz3 approx 1.7, raiz23 / 6 approx 2.0.
ll ( -1+raiz3,-1+5 raiz33) & d (-1+raiz236,-1+5 raiz33) b (-1-5 raiz33,-1+5 raiz33) & e (-1-raiz3,+infty) c (-1-raiz3,-1+5 raiz33) & f (-1+raiz3,+infty)