Qual das alternativas representa o intervalo de validade da solução do problema de valor inicial
Observação: .
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente tem um problema de valor inicial com uma equação diferencial:
O que a gente precisa encontrar é o intervalo de validade da solução dessa equação diferencial. Isso significa descobrir em qual intervalo de a solução é válida e contínua. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre equações diferenciais de primeira ordem e intervalos de validade.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que uma equação diferencial de primeira ordem tem a forma:
dydx = f(x, y)
No nosso caso, y(y + 1)(y - 2) = 0 . Para encontrar a solução, precisamos integrar ambos os lados. Mas antes disso, é importante identificar os pontos onde a função não está definida, ou seja, onde o denominador é zero:
Isso acontece quando , ou . Esses são os pontos críticos onde a solução pode não ser válida.
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação diferencial. Podemos separar as variáveis:
y(y + 1)(y - 2) , dy = -(x + 1) , dx
Integrando ambos os lados:
integral y(y + 1)(y - 2) , dy = -integral (x + 1) , dx
Substituindo 14 - 13 - 1 = -34 e -34 = -(-1 + raiz316)^22 - (-1 + raiz316) + C na equação:
Simplificando o lado esquerdo:
Agora, resolvemos para :
Passo 5
Depois de encontrar o valor de , teremos a equação geral da solução. Entretanto, o que realmente nos interessa aqui é o intervalo de validade dessa solução.
O intervalo de validade é determinado pelos pontos onde a solução pode deixar de ser contínua ou diferenciável. Esses pontos correspondem aos valores de onde o denominador da equação diferencial é zero, ou seja, , e .
Além disso, analisamos onde a solução passa por esses valores críticos. Com a condição inicial dada , estamos entre e .
Passo 6
Com base nos valores críticos e na condição inicial, determinamos que a solução é válida enquanto está entre e . Portanto, o intervalo de corresponde aos valores de onde permanece nesse intervalo.
Analisando as opções fornecidas e as aproximações dadas:
Observamos que a condição inicial está em , e os limites de onde atinge os valores críticos estão entre e .
Resposta
A alternativa correta que representa o intervalo de validade da solução é: