Qual das alternativas representa o intervalo de validade da solução do problema de valor inicial
l d yd x=-x+1y(y+1)(y-2) y(-1+raiz31 / 6)=1
Observação: raiz31 / 6 approx 2.3,5 raiz3 / 3 approx 2.9, raiz3 approx 1.7, raiz23 / 6 approx 2.0.
ll ( -1+raiz3,-1+5 raiz33) & d (-1+raiz236,-1+5 raiz33) b (-1-5 raiz33,-1+5 raiz33) & e (-1-raiz3,+infty) c (-1-raiz3,-1+5 raiz33) & f (-1+raiz3,+infty)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente tem um problema de valor inicial com uma equação diferencial:
l d yd x=-x+1y(y+1)(y-2) y(-1+raiz316)=1
O que a gente precisa encontrar é o intervalo de validade da solução dessa equação diferencial. Isso significa descobrir em qual intervalo de a solução é válida e contínua. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre equações diferenciais de primeira ordem e intervalos de validade.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que uma equação diferencial de primeira ordem tem a forma:
dydx = f(x, y)
No nosso caso, y(y + 1)(y - 2) = 0 . Para encontrar a solução, precisamos integrar ambos os lados. Mas antes disso, é importante identificar os pontos onde a função não está definida, ou seja, onde o denominador é zero:
Isso acontece quando , ou . Esses são os pontos críticos onde a solução pode não ser válida.

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação diferencial. Podemos separar as variáveis:
y(y + 1)(y - 2) , dy = -(x + 1) , dx
Integrando ambos os lados:
integral y(y + 1)(y - 2) , dy = -integral (x + 1) , dx
Vamos calcular as integrais:
À esquerda, expandimos y(y + 1)(y - 2) = y(y^2 - y - 2) = y^3 - y^2 - 2y :
integral (y^3 - y^2 - 2y) , dy = y^44 - y^33 - y^2 + C
Então,
-integral (x + 1) , dx = -(x^22 + x) + C
À direita,
y^44 - y^33 - y^2 = -x^22 - x + C
Igualando as integrais:

Passo 4

Agora, usamos a condição inicial para encontrar a constante y(-1 + raiz316) = 1 . A condição dada é:
1^44 - 1^33 - 1^2 = -(-1 + raiz316)^22 - (-1 + raiz316) + C
Substituindo 14 - 13 - 1 = -34 e -34 = -(-1 + raiz316)^22 - (-1 + raiz316) + C na equação:
Simplificando o lado esquerdo:
Agora, resolvemos para :

Passo 5

Depois de encontrar o valor de , teremos a equação geral da solução. Entretanto, o que realmente nos interessa aqui é o intervalo de validade dessa solução.
O intervalo de validade é determinado pelos pontos onde a solução pode deixar de ser contínua ou diferenciável. Esses pontos correspondem aos valores de onde o denominador da equação diferencial é zero, ou seja, , e .
Além disso, analisamos onde a solução passa por esses valores críticos. Com a condição inicial dada , estamos entre e .

Passo 6

Com base nos valores críticos e na condição inicial, determinamos que a solução é válida enquanto está entre e . Portanto, o intervalo de corresponde aos valores de onde permanece nesse intervalo.
Analisando as opções fornecidas e as aproximações dadas:
Observamos que a condição inicial está em , e os limites de onde atinge os valores críticos estão entre e .

Resposta

A alternativa correta que representa o intervalo de validade da solução é:
b) .

Exercícios relacionados

Qual das alternativas representa a solução geral da equação diferencial
1/4 dy/dt + (3/4 + 1/t) y = t e^(-3 t)
y(t) = (2 t^2 / 3) e^(-3 t) + c (e^(-3 t) / t^4).
d] y(t) = (2 t^2 / 3) e^(-3 t) + c.
b y(t) = (-4 t / 9 - 128 / (729 t) - 32 / 81) e^(-3 t) + c e^(-3 t / 4) / t.
e) y(t) = (-4 t / 9 - 128 / (729 t) - 32 / 81) e^(-3 t) + c e^(-3 t) / t^4.
[] y(t) = (-4/(3 t^3) - 4/(9 t^4)) e^(-6 t) + c e^(-3 t)/t^4.
f y(t) = (2 t^2 / 3) e^(-3 t).
f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 ; x^2 + y^2 + z^2 + x * y = 12
Considere a solução do problema de valor inicial
l d yd t=-y(y-a)(y^2+2 a y+a^2), para 0
Podemos afirmar que:
Se y0>0, então a solução se aproxima de a, quando t +infty. Se -a, então a solução se aproxima de -a, quando t +infty. Se y0<-a, então |y(t)| +infty, quando t cresce.
b Se -a, então a solução se aproxima de -a, quando t +infty. Se 0, então a solução se aproxima de a, quando t +infty. Se y0<-a ou y0>a, então |y(t)| +infty, quando t cresce.
c Se y0<0, então a solução se aproxima de -a, quando t +infty. Se y0>0, então a solução se aproxima de a, quando t +infty.
d Se-a, então a solução se aproxima de 0 , quando t +infty. Se y0>0, então a solução se aproxima de a, quando t +infty. Se y0<-a, então |y(t)| +infty, quando t cresce.
e Se -a, então a solução se aproxima de -a, quando t +infty. Se 0, então a solução se aproxima de 0 , quando t +infty. Se y0>a, então a solução se aproxima de a, quando t +infty. Se y0<-a, então |y(t)| +infty, quando t cresce.
f Se y0<0, então |y(t)| +infty, quando t cresce. Se y0>0, então a solução se aproxima de a, quando t +infty.
Qual das alternativas representa a solução geral da equação diferencial
1/4 dy/dt + (-3/4 + 1/t) y = t e^(3t)
y(t) = (2 t^2 / 3) e^(3 t) + c (e^(3 t) / t^4).
d y(t) = (2 t^2 / 3) e^(3 t) + c.
b y(t) = (4t/9 + 128/(729t) - 32/81) e^(3t) + c e^(3t/4)/t.
(e) y(t) = (4t/9 + 128/(729t) - 32/81) e^(3t) + c e^(3t)/t^4.
c y(t) = (4/(3 t^3) - 4/(9 t^4)) e^(-6 t) + c e^(3 t)/t^4.
f] y(t) = (2 * t^2) / 3 * e^(3 * t).