Qual das alternativas representa o intervalo de validade da solução do problema de valor inicial
■ -\infty, +\infty.
d (-infinito, 2 + raiz(11)).
b (2 - raiz(11), 2 + raiz(11)).
e (-1, +infinito).
c (2 - raiz(11), +infinito).
f (-infinito, 1).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um problema de valor inicial envolvendo uma equação diferencial e precisa descobrir em qual intervalo a solução é válida. Pra isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais e entender onde a solução faz sentido matematicamente. Vamos precisar manipular a equação, encontrar a solução geral e aplicar a condição inicial para determinar o intervalo correto.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar a equação diferencial dada:
Nosso objetivo é encontrar uma função que satisfaça essa equação e também a condição inicial .
Passo 3
Vamos separar as variáveis para facilitar a integração. Isso significa colocar todas as coisas que envolvem de um lado e as que envolvem do outro:
Passo 4
Agora, vamos integrar ambos os lados. Vamos começar com a parte de :
Para integrar isso, vamos expandir a expressão dentro da integral:
Onde é a constante de integração.
Agora, integramos a parte de :
Passo 5
Igualamos as duas integrais (vamos chamar a constante de e , mas podemos combiná-las em uma só constante geral):
Passo 6
Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar o valor de :
Substituindo e :
Calculando:
Passo 7
Substituindo na equação geral:
Para simplificar, podemos multiplicar tudo por 2 para eliminar as frações:
Passo 8
Agora, precisamos determinar onde essa solução é válida. A gente sabe que, para a solução existir, o denominador na equação diferencial original não pode ser zero. Ou seja:
Isso significa que e .
Além disso, devemos garantir que a expressão dentro da raiz quadrada na condição inicial seja positiva, ou seja, que nossa solução mantenha ou , dependendo das condições iniciais.
Passo 9
Com a condição inicial , temos , então nossa solução deve manter para que o denominador não zere e a solução seja válida.
Isso implica que o intervalo de validade é onde a solução permanece real e .
Passo 10
Para encontrar esse intervalo, observamos onde a equação que obtivemos anteriormente faz sentido. Reorganizando a equação:
Como , substituímos por uma variável , onde :
Resolvendo essa relação para , encontramos os limites onde a solução permanece válida. Após cálculos adicionais, determinamos que o intervalo onde a solução é válida é .