Qual das alternativas representa o intervalo de validade da solução do problema de valor inicial
dy/dx = (x - 2) / (32 y (y^2 - 1)), y(0) = raiz(7) / 2
-\infty, +\infty. d (-infinito, 2 + raiz(11)).
b (2 - raiz(11), 2 + raiz(11)). e (-1, +infinito).
c (2 - raiz(11), +infinito). f (-infinito, 1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um problema de valor inicial envolvendo uma equação diferencial e precisa descobrir em qual intervalo a solução é válida. Pra isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais e entender onde a solução faz sentido matematicamente. Vamos precisar manipular a equação, encontrar a solução geral e aplicar a condição inicial para determinar o intervalo correto.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar a equação diferencial dada:
Nosso objetivo é encontrar uma função que satisfaça essa equação e também a condição inicial .

Passo 3

Vamos separar as variáveis para facilitar a integração. Isso significa colocar todas as coisas que envolvem de um lado e as que envolvem do outro:

Passo 4

Agora, vamos integrar ambos os lados. Vamos começar com a parte de :
Para integrar isso, vamos expandir a expressão dentro da integral:
Onde é a constante de integração.
Agora, integramos a parte de :

Passo 5

Igualamos as duas integrais (vamos chamar a constante de e , mas podemos combiná-las em uma só constante geral):

Passo 6

Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar o valor de :
Substituindo e :
Calculando:

Passo 7

Substituindo na equação geral:
Para simplificar, podemos multiplicar tudo por 2 para eliminar as frações:

Passo 8

Agora, precisamos determinar onde essa solução é válida. A gente sabe que, para a solução existir, o denominador na equação diferencial original não pode ser zero. Ou seja:
Isso significa que e .
Além disso, devemos garantir que a expressão dentro da raiz quadrada na condição inicial seja positiva, ou seja, que nossa solução mantenha ou , dependendo das condições iniciais.

Passo 9

Com a condição inicial , temos , então nossa solução deve manter para que o denominador não zere e a solução seja válida.
Isso implica que o intervalo de validade é onde a solução permanece real e .

Passo 10

Para encontrar esse intervalo, observamos onde a equação que obtivemos anteriormente faz sentido. Reorganizando a equação:
Como , substituímos por uma variável , onde :
Resolvendo essa relação para , encontramos os limites onde a solução permanece válida. Após cálculos adicionais, determinamos que o intervalo onde a solução é válida é .

Resposta

A alternativa correta é b) .

Exercícios relacionados

Considere a solução do problema de valor inicial
dy/dt = -(y^3 + y^2)(y - 1) y(t0) = y0
Podemos afirmar que
Se -1 < y0 < 0, então a solução se aproxima de 0 , quando t -> +infinito. Se y0 > 0, então a solução se aproxima de +1 , quando t -> +infinito. Se y0 < -1, então |y(t)| -> +infinito, quando t cresce.
b Se -1 < y0 < +1, então a solução se aproxima de 0 , quando t -> +infinito. Se y0 < -1, então |y(t)| -> +infinito, quando t cresce. Se y0 > 1, então a solução se aproxima de +1 , quando t -> +infinito.
c Se y0 > 0, então a solução se aproxima de +1 , quando t -> +infinito. Se -1 < y0 < 0, então a solução se aproxima de -1 , quando t -> +infinito. Se y0 < -1, então |y(t)| -> +infinito, quando t cresce.
d Se -1 < y0 < 0, então a solução se aproxima de -1 , quando t -> +infinito. Se 0 < y0 < 1, então a solução se aproxima de +1 , quando t -> +infinito. Se y0 < -1 ou y0 > 1, então |y(t)| -> +infinito, quando t cresce.
e Se y0 < -1, então a solução se aproxima de -1 , quando t -> +infinito. Se -1 < y0 < 1, então a solução se aproxima de 0 , quando t -> +infinito. Se y0 > 1, então a solução se aproxima de +1 , quando t -> +infinito.
f Se y0 < -1, então a solução se aproxima de -1 , quando t -> +infinito. Se -1 < y0 < 0, então a solução se aproxima de 0 , quando t -> +infinito. Se y0 > 0, então a solução se aproxima de +1 , quando t -> +infinito.
Qual das alternativas representa a solução geral da equação diferencial
3 dy/dt - 9/t y = t^6 ?
y(t) = t^7 / 12 + c t^3.
d] y(t) = t^7 / 12 + c.
b y(t) = -t^7/2 + c t^9.
e) y(t) = -t^7/2 + c.
© y(t) = t^10 + c t^9.
f y(t) = t^10 + c.
Qual das alternativas representa o intervalo de validade da solução do problema de valor inicial
dy/dx = (x + 2) / (32 * y * (y^2 - 1)) , y(0) = raiz(7) / 2 ?
square(-infinity, infinity).
b (-2 - raiz(11), -2 + raiz(11))
c (-2 - raiz(11), +infinito)
d (-infinito, -2 + raiz(11)).
e (-1, +infinito).
f (-infinito, 1).
f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 ; x^2 + y^2 + z^2 + x * y = 12