Qual das alternativas representa o intervalo de validade da solução do problema de valor inicial
square(-infinity, infinity).
b (-2 - raiz(11), -2 + raiz(11))
c (-2 - raiz(11), +infinito)
d (-infinito, -2 + raiz(11)).
e (-1, +infinito).
f (-infinito, 1).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para descobrir em qual intervalo a solução do problema de valor inicial está válida. A gente está lidando com uma equação diferencial do tipo e uma condição inicial . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de separação de variáveis e análise de onde a função está bem definida.
Passo 2
Primeiro, vamos separar as variáveis na equação diferencial. Isso significa arrumar a equação de forma que todos os termos com fiquem de um lado e os termos com do outro.
Temos:
Vamos rearranjar:
Passo 3
Agora, vamos integrar os dois lados da equação. A ideia é encontrar as funções e que satisfazem a igualdade.
Integrando o lado esquerdo:
Vamos fazer uma substituição simples. Seja , então . Ajustando:
Integrando:
Integrando o lado direito:
Passo 4
Agora, juntamos as integrações e adicionamos a constante de integração :
Vamos simplificar para facilitar:
onde .
Passo 5
Precisamos encontrar o valor de usando a condição inicial .
Substituindo e :
Calculando dentro dos parênteses:
Então:
Passo 6
Agora que temos , nossa equação fica:
Para encontrar o intervalo de validade, precisamos garantir que o lado esquerdo seja não negativo e que esteja definida. Além disso, precisamos garantir que não haja divisões por zero na equação original, ou seja, e .
Vamos reorganizar a equação para isolar :
O lado direito é sempre positivo ou zero, então o lado esquerdo também deve ser. Calculando o discriminante da equação quadrática em :
Como , a expressão nunca é zero e é sempre positiva para todo .
Passo 7
Mas precisamos relacionar isso com o intervalo de . Da condição inicial , observamos que deve permanecer em um intervalo onde para evitar a divisão por zero na equação original.
Ao resolver , percebemos que implica que ou . Considerando a condição inicial positiva, focamos em .