Qual das alternativas representa o intervalo de validade da solução do problema de valor inicial
dy/dx = (x + 2) / (32 * y * (y^2 - 1)) , y(0) = raiz(7) / 2 ?
square(-infinity, infinity).
b (-2 - raiz(11), -2 + raiz(11))
c (-2 - raiz(11), +infinito)
d (-infinito, -2 + raiz(11)).
e (-1, +infinito).
f (-infinito, 1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para descobrir em qual intervalo a solução do problema de valor inicial está válida. A gente está lidando com uma equação diferencial do tipo e uma condição inicial . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de separação de variáveis e análise de onde a função está bem definida.

Passo 2

Primeiro, vamos separar as variáveis na equação diferencial. Isso significa arrumar a equação de forma que todos os termos com fiquem de um lado e os termos com do outro.
Temos:
Vamos rearranjar:

Passo 3

Agora, vamos integrar os dois lados da equação. A ideia é encontrar as funções e que satisfazem a igualdade.
Integrando o lado esquerdo:
Vamos fazer uma substituição simples. Seja , então . Ajustando:
Integrando:
Integrando o lado direito:

Passo 4

Agora, juntamos as integrações e adicionamos a constante de integração :
Vamos simplificar para facilitar:
onde .

Passo 5

Precisamos encontrar o valor de usando a condição inicial .
Substituindo e :
Calculando dentro dos parênteses:
Então:

Passo 6

Agora que temos , nossa equação fica:
Para encontrar o intervalo de validade, precisamos garantir que o lado esquerdo seja não negativo e que esteja definida. Além disso, precisamos garantir que não haja divisões por zero na equação original, ou seja, e .
Vamos reorganizar a equação para isolar :
O lado direito é sempre positivo ou zero, então o lado esquerdo também deve ser. Calculando o discriminante da equação quadrática em :
Como , a expressão nunca é zero e é sempre positiva para todo .

Passo 7

Mas precisamos relacionar isso com o intervalo de . Da condição inicial , observamos que deve permanecer em um intervalo onde para evitar a divisão por zero na equação original.
Ao resolver , percebemos que implica que ou . Considerando a condição inicial positiva, focamos em .

Resposta

A alternativa correta é c) .

Exercícios relacionados

Qual das alternativas representa o intervalo de validade da solução do problema de valor inicial
dy/dx = (x - 2) / (32 y (y^2 - 1)), y(0) = raiz(7) / 2
-\infty, +\infty. d (-infinito, 2 + raiz(11)).
b (2 - raiz(11), 2 + raiz(11)). e (-1, +infinito).
c (2 - raiz(11), +infinito). f (-infinito, 1).
Considere a solução do problema de valor inicial
dy/dt = -(y^3 + y^2)(y - 1) y(t0) = y0
Podemos afirmar que
Se -1 < y0 < 0, então a solução se aproxima de 0 , quando t -> +infinito. Se y0 > 0, então a solução se aproxima de +1 , quando t -> +infinito. Se y0 < -1, então |y(t)| -> +infinito, quando t cresce.
b Se -1 < y0 < +1, então a solução se aproxima de 0 , quando t -> +infinito. Se y0 < -1, então |y(t)| -> +infinito, quando t cresce. Se y0 > 1, então a solução se aproxima de +1 , quando t -> +infinito.
c Se y0 > 0, então a solução se aproxima de +1 , quando t -> +infinito. Se -1 < y0 < 0, então a solução se aproxima de -1 , quando t -> +infinito. Se y0 < -1, então |y(t)| -> +infinito, quando t cresce.
d Se -1 < y0 < 0, então a solução se aproxima de -1 , quando t -> +infinito. Se 0 < y0 < 1, então a solução se aproxima de +1 , quando t -> +infinito. Se y0 < -1 ou y0 > 1, então |y(t)| -> +infinito, quando t cresce.
e Se y0 < -1, então a solução se aproxima de -1 , quando t -> +infinito. Se -1 < y0 < 1, então a solução se aproxima de 0 , quando t -> +infinito. Se y0 > 1, então a solução se aproxima de +1 , quando t -> +infinito.
f Se y0 < -1, então a solução se aproxima de -1 , quando t -> +infinito. Se -1 < y0 < 0, então a solução se aproxima de 0 , quando t -> +infinito. Se y0 > 0, então a solução se aproxima de +1 , quando t -> +infinito.
f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 ; x^2 + y^2 + z^2 + x * y = 12
Qual das alternativas representa a solução geral da equação diferencial
1/4 dy/dt + (3/4 + 1/t) y = t e^(-3 t)
y(t) = (2 t^2 / 3) e^(-3 t) + c (e^(-3 t) / t^4).
d] y(t) = (2 t^2 / 3) e^(-3 t) + c.
b y(t) = (-4 t / 9 - 128 / (729 t) - 32 / 81) e^(-3 t) + c e^(-3 t / 4) / t.
e) y(t) = (-4 t / 9 - 128 / (729 t) - 32 / 81) e^(-3 t) + c e^(-3 t) / t^4.
[] y(t) = (-4/(3 t^3) - 4/(9 t^4)) e^(-6 t) + c e^(-3 t)/t^4.
f y(t) = (2 t^2 / 3) e^(-3 t).