Qual das alternativas representa a solução geral da equação diferencial
1/4 dy/dt + (3/4 + 1/t) y = t e^(-3 t)
y(t) = (2 t^2 / 3) e^(-3 t) + c (e^(-3 t) / t^4).
d] y(t) = (2 t^2 / 3) e^(-3 t) + c.
b y(t) = (-4 t / 9 - 128 / (729 t) - 32 / 81) e^(-3 t) + c e^(-3 t / 4) / t.
e) y(t) = (-4 t / 9 - 128 / (729 t) - 32 / 81) e^(-3 t) + c e^(-3 t) / t^4.
[] y(t) = (-4/(3 t^3) - 4/(9 t^4)) e^(-6 t) + c e^(-3 t)/t^4.
f y(t) = (2 t^2 / 3) e^(-3 t).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial que precisa resolver. O enunciado é:
O conteúdo envolvido aqui é equações diferenciais lineares de primeira ordem. Vamos precisar usar o método do fator integrante para resolver essa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos deixar a equação numa forma padrão. Multiplicamos todos os termos por 4 pra simplificar:
Agora, ela está na forma:
onde e .

Passo 3

Vamos encontrar o fator integrante ( ) que é dado por:
Calculando a integral de :
Então, o fator integrante é:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação pela :
Simplificando o lado direito:
E o lado esquerdo se torna a derivada de :

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados em relação a :
Isso resulta em:
Simplificando:

Passo 6

Agora, isolamos :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

Exercícios relacionados

f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 ; x^2 + y^2 + z^2 + x * y = 12
Qual das alternativas representa o intervalo de validade da solução do problema de valor inicial
dy/dx = (x + 2) / (32 * y * (y^2 - 1)) , y(0) = raiz(7) / 2 ?
square(-infinity, infinity).
b (-2 - raiz(11), -2 + raiz(11))
c (-2 - raiz(11), +infinito)
d (-infinito, -2 + raiz(11)).
e (-1, +infinito).
f (-infinito, 1).
Qual das alternativas representa o intervalo de validade da solução do problema de valor inicial
l d yd x=-x+1y(y+1)(y-2) y(-1+raiz31 / 6)=1
Observação: raiz31 / 6 approx 2.3,5 raiz3 / 3 approx 2.9, raiz3 approx 1.7, raiz23 / 6 approx 2.0.
ll ( -1+raiz3,-1+5 raiz33) & d (-1+raiz236,-1+5 raiz33) b (-1-5 raiz33,-1+5 raiz33) & e (-1-raiz3,+infty) c (-1-raiz3,-1+5 raiz33) & f (-1+raiz3,+infty)
Considere a solução do problema de valor inicial
l d yd t=-y(y-a)(y^2+2 a y+a^2), para 0
Podemos afirmar que:
Se y0>0, então a solução se aproxima de a, quando t +infty. Se -a, então a solução se aproxima de -a, quando t +infty. Se y0<-a, então |y(t)| +infty, quando t cresce.
b Se -a, então a solução se aproxima de -a, quando t +infty. Se 0, então a solução se aproxima de a, quando t +infty. Se y0<-a ou y0>a, então |y(t)| +infty, quando t cresce.
c Se y0<0, então a solução se aproxima de -a, quando t +infty. Se y0>0, então a solução se aproxima de a, quando t +infty.
d Se-a, então a solução se aproxima de 0 , quando t +infty. Se y0>0, então a solução se aproxima de a, quando t +infty. Se y0<-a, então |y(t)| +infty, quando t cresce.
e Se -a, então a solução se aproxima de -a, quando t +infty. Se 0, então a solução se aproxima de 0 , quando t +infty. Se y0>a, então a solução se aproxima de a, quando t +infty. Se y0<-a, então |y(t)| +infty, quando t cresce.
f Se y0<0, então |y(t)| +infty, quando t cresce. Se y0>0, então a solução se aproxima de a, quando t +infty.