Calcular integralgamma x d x+y d y+zd d z onde gamma é a interseção do paraboloide z=x^2+y^2 com o plano z=2 x+2 y-1 sendo que o sentido do percurso de gamma deve ser tal que a projeção de gamma no plano xy seja anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é calcular uma integral de linha, que é uma maneira de somar valores ao longo de uma curva. A curva gamma é onde um paraboloide, que é a superfície dada por z = x^2 + y^2, intercepta um plano, que é z = 2x + 2y - 1. Além disso, a direção dessa curva deve ser tal que, quando a gente projeta gamma no plano xy, o movimento seja anti-horário. Para resolver isso, vamos precisar entender de calculo de integrais de linha, parametrização de curvas e um pouco de geometria analítica.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a equação da curva gamma. Sabemos que gamma é a interseção entre o paraboloide e o plano. Então, podemos igualar as duas expressões para z:
x^2 + y^2 = 2x + 2y - 1
Vamos reorganizar essa equação para facilitar a identificação de uma geometria conhecida.

Passo 3

Reorganizando a equação:
x^2 - 2x + y^2 - 2y = -1
Agora, vamos completar o quadrado para os termos de x e y.

Passo 4

Completando o quadrado para x:
x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1
E para y:
y^2 - 2y = (y - 1)^2 - 1
Substituindo de volta na equação original:
(x - 1)^2 - 1 + (y - 1)^2 - 1 = -1

Passo 5

Simplificando a equação:
(x - 1)^2 + (y - 1)^2 - 2 = -1 (x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 1
Isso representa a equação de um círculo no plano xy com centro em (1,1) e raio 1.

Passo 6

Então, a curva gamma é um círculo com centro em (1,1) e raio 1 no plano xy, e a altura z varia de acordo com o paraboloide ou o plano. Vamos parametrizar essa curva usando um ângulo theta.

Passo 7

Vamos usar a parametrização:
x = 1 + costheta y = 1 + sintheta
Onde theta vai de 0 a 2pi para completar o círculo. Agora, precisamos encontrar z usando uma das equações dadas. Vamos usar z = 2x + 2y - 1:
z = 2(1 + costheta) + 2(1 + sintheta) - 1 z = 2 + 2costheta + 2 + 2sintheta - 1 z = 3 + 2costheta + 2sintheta

Passo 8

Agora, temos todas as componentes parametrizadas:
x(theta) = 1 + costheta y(theta) = 1 + sintheta z(theta) = 3 + 2costheta + 2sintheta
Com theta variando de 0 a 2pi. Vamos calcular as derivadas dessas funções em relação a theta, que são necessárias para a integral de linha.

Passo 9

Calculando as derivadas:
dxdtheta = -sintheta dydtheta = costheta dzdtheta = -2sintheta + 2costheta

Passo 10

Agora, vamos substituir tudo na integral dada:
integralgamma x , dx + y , dy + z , dz = integral0^2pi [ x(theta) cdot dxdtheta + y(theta) cdot dydtheta + z(theta) cdot dzdtheta ] dtheta
Substituindo os valores paramétricos:
integral0^2pi [ (1 + costheta)(- sintheta) + (1 + sintheta)(costheta) + (3 + 2costheta + 2sintheta)(-2sintheta + 2costheta) ] dtheta

Passo 11

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Primeiro, calcule cada termo separadamente:
  1. (1 + costheta)(- sintheta) = -sintheta - sintheta costheta
  2. (1 + sintheta)(costheta) = costheta + sintheta costheta
  3. (3 + 2costheta + 2sintheta)(-2sintheta + 2costheta) =
Vamos expandir o terceiro termo:
3(-2sintheta) + 3(2costheta) + 2costheta(-2sintheta) + 2costheta(2costheta) + 2sintheta(-2sintheta) + 2sintheta(2costheta)
Simplificando:
-6sintheta + 6costheta -4sintheta costheta + 4cos^2theta -4sin^2theta +4sintheta costheta
Note que os termos -4sintheta costheta e +4sintheta costheta se cancelam. Então, temos:
-6sintheta + 6costheta + 4cos^2theta -4sin^2theta

Passo 12

Voltando à integral, somamos todos os termos:
[-sintheta - sintheta costheta] + [costheta + sintheta costheta] + [-6sintheta + 6costheta + 4cos^2theta -4sin^2theta]
Simplificando:
  • Os termos -sintheta costheta e +sintheta costheta se cancelam.
  • Os termos restantes:
-sintheta + costheta -6sintheta + 6costheta + 4cos^2theta -4sin^2theta = (-sintheta -6sintheta) + (costheta +6costheta) +4cos^2theta -4sin^2theta = -7sintheta +7costheta +4cos^2theta -4sin^2theta

Passo 13

Agora, a integral fica:
integral0^2pi ( -7sintheta +7costheta +4cos^2theta -4sin^2theta ) dtheta
Vamos separar a integral em partes:
-7 integral0^2pi sintheta , dtheta +7 integral0^2pi costheta , dtheta +4 integral0^2pi cos^2theta , dtheta -4 integral0^2pi sin^2theta , dtheta

Passo 14

Calculando cada integral separadamente:
  1. integral0^2pi sintheta , dtheta = 0 (pois a integral do seno sobre um período completo é zero)
  2. integral0^2pi costheta , dtheta = 0 (mesmo motivo do seno)
  3. integral0^2pi cos^2theta , dtheta = pi (usando a identidade cos^2theta = 1 + cos2theta2)
  4. integral0^2pi sin^2theta , dtheta = pi (usando a identidade sin^2theta = 1 - cos2theta2)

Passo 15

Substituindo os valores das integrais:
-7 cdot 0 +7 cdot 0 +4 cdot pi -4 cdot pi = 0 + 0 +4pi -4pi = 0

Resposta

A integral vale 0.

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