Calcular
onde
é a interseção do paraboloide
com o plano
sendo que o sentido do percurso de
deve ser tal que a projeção de
no plano xy seja anti-horário.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é calcular uma integral de linha, que é uma maneira de somar valores ao longo de uma curva. A curva
é onde um paraboloide, que é a superfície dada por
, intercepta um plano, que é
. Além disso, a direção dessa curva deve ser tal que, quando a gente projeta
no plano xy, o movimento seja anti-horário. Para resolver isso, vamos precisar entender de calculo de integrais de linha, parametrização de curvas e um pouco de geometria analítica.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a equação da curva
. Sabemos que
é a interseção entre o paraboloide e o plano. Então, podemos igualar as duas expressões para
:
Vamos reorganizar essa equação para facilitar a identificação de uma geometria conhecida.
Passo 3
Reorganizando a equação:
Agora, vamos completar o quadrado para os termos de
e
.
Passo 4
Completando o quadrado para
:
E para
:
Substituindo de volta na equação original:
Passo 5
Simplificando a equação:
Isso representa a equação de um círculo no plano xy com centro em (1,1) e raio 1.
Passo 6
Então, a curva
é um círculo com centro em (1,1) e raio 1 no plano xy, e a altura
varia de acordo com o paraboloide ou o plano. Vamos parametrizar essa curva usando um ângulo
.
Passo 7
Vamos usar a parametrização:
Onde
vai de
a
para completar o círculo. Agora, precisamos encontrar
usando uma das equações dadas. Vamos usar
:
Passo 8
Agora, temos todas as componentes parametrizadas:
Com
variando de
a
. Vamos calcular as derivadas dessas funções em relação a
, que são necessárias para a integral de linha.
Passo 9
Calculando as derivadas:
Passo 10
Agora, vamos substituir tudo na integral dada:
Substituindo os valores paramétricos:
Passo 11
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Primeiro, calcule cada termo separadamente:
Vamos expandir o terceiro termo:
Simplificando:
Note que os termos
e
se cancelam. Então, temos:
Passo 12
Voltando à integral, somamos todos os termos:
Simplificando:
- Os termos
e se cancelam. - Os termos restantes:
Passo 13
Agora, a integral fica:
Vamos separar a integral em partes:
Passo 14
Calculando cada integral separadamente:
-
(pois a integral do seno sobre um período completo é zero) -
(mesmo motivo do seno) -
(usando a identidade ) -
(usando a identidade )
Passo 15
Substituindo os valores das integrais:
Resposta
A integral vale 0.
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Suponha que a temperatura
num ponto
é dada por
. Em que direção e sentido
cresce mais rapidamente no ponto
? Qual a taxa máxima de crescimento neste ponto?
Calcule a seguinte integral tripla:
Seja
o sólido limitado pelo cilindro parabólico
e os planos
e
.
Classifique as equações diferenciais a seguir dizendo se são lineares ou não-lineares. Dê também a ordem de cada equação.
(a)
(g)
(b)
(h)
©
(d)
(i)
(e)
(j)
(f)
(a)
(g)
(b)
(h)
©
(d)
(i)
(e)
(j)
(f)