Calcular onde é a interseção do paraboloide com o plano sendo que o sentido do percurso de deve ser tal que a projeção de no plano xy seja anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é calcular uma integral de linha, que é uma maneira de somar valores ao longo de uma curva. A curva é onde um paraboloide, que é a superfície dada por , intercepta um plano, que é . Além disso, a direção dessa curva deve ser tal que, quando a gente projeta no plano xy, o movimento seja anti-horário. Para resolver isso, vamos precisar entender de calculo de integrais de linha, parametrização de curvas e um pouco de geometria analítica.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a equação da curva . Sabemos que é a interseção entre o paraboloide e o plano. Então, podemos igualar as duas expressões para :
Vamos reorganizar essa equação para facilitar a identificação de uma geometria conhecida.

Passo 3

Reorganizando a equação:
Agora, vamos completar o quadrado para os termos de e .

Passo 4

Completando o quadrado para :
E para :
Substituindo de volta na equação original:

Passo 5

Simplificando a equação:
Isso representa a equação de um círculo no plano xy com centro em (1,1) e raio 1.

Passo 6

Então, a curva é um círculo com centro em (1,1) e raio 1 no plano xy, e a altura varia de acordo com o paraboloide ou o plano. Vamos parametrizar essa curva usando um ângulo .

Passo 7

Vamos usar a parametrização:
Onde vai de a para completar o círculo. Agora, precisamos encontrar usando uma das equações dadas. Vamos usar :

Passo 8

Agora, temos todas as componentes parametrizadas:
Com variando de a . Vamos calcular as derivadas dessas funções em relação a , que são necessárias para a integral de linha.

Passo 9

Calculando as derivadas:

Passo 10

Agora, vamos substituir tudo na integral dada:
Substituindo os valores paramétricos:

Passo 11

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Primeiro, calcule cada termo separadamente:
Vamos expandir o terceiro termo:
Simplificando:
Note que os termos e se cancelam. Então, temos:

Passo 12

Voltando à integral, somamos todos os termos:
Simplificando:
  • Os termos e se cancelam.
  • Os termos restantes:

Passo 13

Agora, a integral fica:
Vamos separar a integral em partes:

Passo 14

Calculando cada integral separadamente:
  1. (pois a integral do seno sobre um período completo é zero)
  2. (mesmo motivo do seno)
  3. (usando a identidade )
  4. (usando a identidade )

Passo 15

Substituindo os valores das integrais:

Resposta

A integral vale 0.

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(a)
(g)
(b)
(h)
©
(d)
(i)
(e)
(j)
(f)
, encontre quando e .