Classifique as equações diferenciais a seguir dizendo se são lineares ou não-lineares. Dê também a ordem de cada equação.
(a)
(g)
(b)
(h)
©
(d)
(i)
(e)
(j)
(f)
(a)
(g)
(b)
(h)
©
(d)
(i)
(e)
(j)
(f)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente classificar uma série de equações diferenciais, dizendo se elas são lineares ou não-lineares, e também identificar a ordem de cada uma. Para resolver isso, vamos precisar entender o que torna uma equação diferencial linear ou não-linear e como determinar a ordem de uma equação.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o que é uma equação diferencial linear. Uma equação diferencial é linear se ela pode ser escrita de forma que a função desconhecida (como
) e todas as suas derivadas aparecem apenas na primeira potência e não estão multiplicadas entre si. Além disso, os coeficientes dessas funções devem depender apenas da variável independente (como
).
Por outro lado, se a função desconhecida ou suas derivadas aparecem elevadas a alguma potência além da primeira, ou se estão multiplicadas entre si, a equação é não-linear.
A ordem da equação diferencial é determinada pela maior derivada presente na equação.
Passo 3
Agora vamos aplicar isso a cada uma das equações fornecidas:
(a)
- Linearidade: As derivadas
e aparecem na primeira potência e não estão multiplicadas entre si. Além disso, os coeficientes dependem de . Então, é linear. - Ordem: A maior derivada é a segunda derivada (
), então é de segunda ordem.
(b)
- Linearidade: A derivada
está na primeira potência, mas está elevada à quarta potência. Isso torna a equação não-linear. - Ordem: A maior derivada é a terceira derivada (
), então é de terceira ordem.
©
- Linearidade: O termo
envolve a multiplicação de com , o que a torna não-linear. - Ordem: A maior derivada é a primeira derivada (
), então é de primeira ordem.
(d)
- Linearidade: Rearranjando, temos
. O termo está na primeira potência e não multiplicado por nenhuma derivada, tornando a equação linear. - Ordem: A maior derivada é a primeira derivada (
), então é de primeira ordem.
(e)
- Linearidade: Todas as derivadas aparecem na primeira potência e não estão multiplicadas entre si. Os coeficientes dependem de
. Então, é linear. - Ordem: A maior derivada é a quarta derivada (
), então é de quarta ordem.
(f)
- Linearidade: O termo envolve uma função não-linear de
, tornando a equação não-linear. - Ordem: A maior derivada é a segunda derivada (
), então é de segunda ordem.
(g)
- Linearidade: A presença da raiz quadrada envolvendo
torna a equação não-linear. - Ordem: A maior derivada é a segunda derivada (
), então é de segunda ordem.
(h)
- Linearidade: O termo
envolve elevado à segunda potência no denominador, tornando a equação não-linear. - Ordem: A maior derivada é a segunda derivada (
), então é de segunda ordem.
(i)
- Linearidade: O termo envolve a multiplicação de uma função de
com , o que torna a equação não-linear. - Ordem: A maior derivada é a terceira derivada (
), então é de terceira ordem.
(j)
- Linearidade: Rearranjando, temos
. O termo está elevado ao quadrado, tornando a equação não-linear. - Ordem: A maior derivada é a primeira derivada (
), então é de primeira ordem.
Resposta
Aqui está a classificação de cada equação:
a) Linear, segunda ordem
b) Não-linear, terceira ordem
c) Não-linear, primeira ordem
d) Linear, primeira ordem
e) Linear, quarta ordem
f) Não-linear, segunda ordem
g) Não-linear, segunda ordem
h) Não-linear, segunda ordem
i) Não-linear, terceira ordem
j) Não-linear, primeira ordem
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onde
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num ponto
é dada por
. Em que direção e sentido
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(a)
(b)
©
(a)
(b)
©