Classifique as equações diferenciais a seguir dizendo se são lineares ou não-lineares. Dê também a ordem de cada equação.
(a) (1-x)y'' - 4xy' + 5y = cos(x)
(g) dy/dx = raiz(1 + (d^2y/dx^2)^2)
(b) x d^3y/dx^3 - 2 (dy/dx)^4 + y = 0
(h) d^2r/dt^2 = -k/r^2
© y y' + 2y = 1 + x^2
(d) x^2 dy + (y - x y - x e^x) dx = 0
(i) sen(y) y''' - cos(x) y' = 2
(e) x^3 y^(4) - x^2 y'' + 4 x y' - 3 y = 0
(j) (1 - y^2) dx + x dy = 0
(f) d^2y/dx^2 + 9y = sen(y)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente classificar uma série de equações diferenciais, dizendo se elas são lineares ou não-lineares, e também identificar a ordem de cada uma. Para resolver isso, vamos precisar entender o que torna uma equação diferencial linear ou não-linear e como determinar a ordem de uma equação.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o que é uma equação diferencial linear. Uma equação diferencial é linear se ela pode ser escrita de forma que a função desconhecida (como ) e todas as suas derivadas aparecem apenas na primeira potência e não estão multiplicadas entre si. Além disso, os coeficientes dessas funções devem depender apenas da variável independente (como ).
Por outro lado, se a função desconhecida ou suas derivadas aparecem elevadas a alguma potência além da primeira, ou se estão multiplicadas entre si, a equação é não-linear.
A ordem da equação diferencial é determinada pela maior derivada presente na equação.

Passo 3

Agora vamos aplicar isso a cada uma das equações fornecidas:

(a)

  • Linearidade: As derivadas e aparecem na primeira potência e não estão multiplicadas entre si. Além disso, os coeficientes dependem de . Então, é linear.
  • Ordem: A maior derivada é a segunda derivada ( ), então é de segunda ordem.

(b)

  • Linearidade: A derivada está na primeira potência, mas está elevada à quarta potência. Isso torna a equação não-linear.
  • Ordem: A maior derivada é a terceira derivada ( ), então é de terceira ordem.

©

  • Linearidade: O termo envolve a multiplicação de com , o que a torna não-linear.
  • Ordem: A maior derivada é a primeira derivada ( ), então é de primeira ordem.

(d)

  • Linearidade: Rearranjando, temos . O termo está na primeira potência e não multiplicado por nenhuma derivada, tornando a equação linear.
  • Ordem: A maior derivada é a primeira derivada ( ), então é de primeira ordem.

(e)

  • Linearidade: Todas as derivadas aparecem na primeira potência e não estão multiplicadas entre si. Os coeficientes dependem de . Então, é linear.
  • Ordem: A maior derivada é a quarta derivada ( ), então é de quarta ordem.

(f)

  • Linearidade: O termo envolve uma função não-linear de , tornando a equação não-linear.
  • Ordem: A maior derivada é a segunda derivada ( ), então é de segunda ordem.

(g)

  • Linearidade: A presença da raiz quadrada envolvendo torna a equação não-linear.
  • Ordem: A maior derivada é a segunda derivada ( ), então é de segunda ordem.

(h)

  • Linearidade: O termo envolve elevado à segunda potência no denominador, tornando a equação não-linear.
  • Ordem: A maior derivada é a segunda derivada ( ), então é de segunda ordem.

(i)

  • Linearidade: O termo envolve a multiplicação de uma função de com , o que torna a equação não-linear.
  • Ordem: A maior derivada é a terceira derivada ( ), então é de terceira ordem.

(j)

  • Linearidade: Rearranjando, temos . O termo está elevado ao quadrado, tornando a equação não-linear.
  • Ordem: A maior derivada é a primeira derivada ( ), então é de primeira ordem.

Resposta

Aqui está a classificação de cada equação:
a) Linear, segunda ordem
b) Não-linear, terceira ordem
c) Não-linear, primeira ordem
d) Linear, primeira ordem
e) Linear, quarta ordem
f) Não-linear, segunda ordem
g) Não-linear, segunda ordem
h) Não-linear, segunda ordem
i) Não-linear, terceira ordem
j) Não-linear, primeira ordem

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